🚗1. 矢量分析

1.1 矢量代数

1.1.1 标量和矢量

标量只有大小，矢量既有大小也有方向

常矢量：方向和大小都不变的矢量

在三维坐标系中，矢量可以用坐标分量来表示：

$$\vec{A}=A_x\vec{e}_x+A_y\vec{e}_y+A_z\vec{e}_z$$

其中，

$$A_x=A\cos\alpha\\ A_y=A\cos\beta\\ A_z=A\cos\gamma$$

因此：

$$\begin{aligned} \vec{A}=A(\vec{e}_x\cos\alpha+\vec{e}_y\cos\beta+\vec{e}_z\cos\gamma) \end{aligned}$$

向量$\vec{A}$方向的单位向量为

$$\vec{e}_A=\vec{e}_x\cos\alpha+\vec{e}_y\cos\beta+\vec{e}_z\cos\gamma$$

图示：

1.1.2 矢量的代数运算

1. 矢量的加减法

   两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线，如图

   

   Image 1

   

   Image 2

   在直角坐标系中两矢量的加减法：

   $$\vec{A}\pm\vec{B}=\vec{e}_x(A_x\pm B_x)+\vec{e}_y(A_y\pm B_y)+\vec{e}_z(A_z\pm B_z)$$

   矢量的加减符合交换律和结合律：

   $$\begin{align*} &交换律 \: \vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\\ &结合律 \: \vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})=(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C} \end{align*}$$
2. 标量乘矢量

   $$k\vec{A}=\vec{e}_xkA_x+\vec{e}_ykA_y+\vec{e}_zkA_z$$
3. 矢量的点积

   $$\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos\theta=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$$

   矢量的点积符合交换律：

   $$\vec A\cdot\vec B=\vec B\cdot\vec A$$

   矢量的点积相当于一个矢量和另一个矢量在该矢量方向上投影的乘积，两矢量垂直时点积为0，平行时点积为模的乘积

4. 矢量的叉积 矢量的叉积定义为

   

   $$\vec{A}\times\vec{B}=\vec{e}_nAB\sin\theta$$

   在直角坐标系中可写成行列式的形式：

   $$\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix}\vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}$$

   将该行列式按第一行展开，可得：

   $$\vec{A}\times\vec{B}=\vec{e}_x(A_yB_z-A_zB_y)+\vec{e}_y(A_zB_x-A_xB_z)+\vec{e}_z(A_xB_y-A_yB_x)$$

   叉积的方向由右手螺旋定则决定，因此由

   $$\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$$

   两种特殊情况：

   $$\begin{aligned}&\textbf{若 }\vec{A}\perp\vec{B}\text{,则 }\left|\vec{A}\times\vec{B}\right|=AB\\&\textbf{若 }\vec{A}//\vec{B}\text{,则 }\left|\vec{A}\times\vec{B}\right|=0\end{aligned}$$
5. 矢量的混合运算

   • 分配律：$(\vec{A}+\vec{B})\cdot\vec{C}=\vec{A}\cdot\vec{C}+\vec{B}\cdot\vec{C}$
   • 分配律：$(\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}=\vec{A}\times\vec{C}+\vec{B}\times\vec{C}$
   • 标量三重积：$\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})=\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$
   • 矢量三重积：$\vec A\times(\vec B\times\vec C)=(\vec A\cdot\vec C)\vec B-(\vec A\cdot\vec B)\vec C$

   标量三重积的证明：

   已知$\vec{A}=A_x\vec{e}_x+A_y\vec{e}_y+A_z\vec{e}_z,\vec{B}=B_x\vec{e}_x+B_y\vec{e}_y+B_z\vec{e}_z,\vec{C}=C_x\vec{e}_x+C_y\vec{e}_y+C_z\vec{e}_z$，可得

   $$\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})= \begin{vmatrix} A_x&A_y&A_z\\ B_x&B_y&B_z\\ C_x&C_y&C_z\\ \end{vmatrix}$$

   证明如下：

   $$\begin{align*} \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=& (A_x\vec{e}_x+A_y\vec{e}_y+A_z\vec{e_z})\cdot(\vec{e_x} \begin{vmatrix} B_y&B_z\\ C_y&C_z\\ \end{vmatrix}- \vec{e_y}\begin{vmatrix} A_x&C_z\\ A_x&C_z\\ \end{vmatrix}+ \vec{e_z}\begin{vmatrix} A_x&B_y\\ A_x&B_y\\ \end{vmatrix})\\ =& \begin{vmatrix} A_x&A_y&A_z\\ B_x&B_y&B_z\\ C_x&C_y&C_z\\ \end{vmatrix} \end{align*}$$

   由行列式的性质，我们可知，当顺序不变，改变$\vec{A}、\vec{B}、\vec{C}$的位置也不会影响标量三重积的结果，也可以重新证一次$\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})$，得：

   $$\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})=\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$$

   几何意义为一个平行六面体的体积

矢量三重积的证明：

首先为了方便记忆可以使用”BAC-CAB（BACK-CAB，后面的出租车）“的口诀。一种比较另类的证明方式：

对$\vec A\times(\vec B\times\vec C)$而言，$\vec B\times\vec C$将得到$\vec{B}$向量和$\vec{C}$向量所在平面的法向量$\vec{n}$，$\vec{n}$与$\vec{A}$叉积所得向量必处于$\vec{B}$和$\vec{C}$所在平面，则可表示为：

$$\vec A\times(\vec B\times\vec C)=p\vec{B}+q\vec{C}$$

此时的$\vec{A}$向量与其也是垂直关系，点积则有：

$$\vec{A}\cdot(p\vec{B}+q\vec{C})=p\vec{A}\vec{B}+q\vec{A}\vec{C}$$

若要等式恒成立，又考虑到$p$和$q$是常数，则$p$必然等于$\vec{A}$和$\vec{C}$的点积，$q$必然等于$\vec{A}$和$\vec{B}$的点积的负数，则有：

$$\vec A\times(\vec B\times\vec C)=(\vec A\cdot\vec C)\vec B-(\vec A\cdot\vec B)\vec C$$

1.2 三种常用的正交曲线坐标系

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定，三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系，三条曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标变量，在电磁场与电磁波中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系，圆柱坐标系，球面坐标系。

1.2.1 直角坐标系

Image 1

Image 2

在直角坐标系中，三个坐标变量为：

$$x、y、z$$

它们的变化范围为：

$$-\infty<x<\infty ,-\infty<y<\infty ,-\infty<z<\infty$$

坐标单位矢量为：

$$\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z$$

任意矢量$\vec A$在直角坐标系中可表示为：

$$\vec{A}=\vec{e_x}A_x+\vec{e_y}A_y+\vec{e_z}A_z$$

其中$A_x$、$A_y$和$A_z$分别是矢量$\vec{A}$在$\vec{e_x}$、$\vec{e_y}$和$\vec{e_z}$方向上的投影 从坐标原点出发的矢量$\vec r$表示空间任一点的位置，称为位置矢量，在直角坐标系中，位置矢量

$$\vec{r}=\vec{e}_xx+\vec{e}_yy+\vec{e}_zz$$

其微分矢量，又叫线元矢量为

$$\mathrm{d}\vec{l}=\vec{e}_x\mathrm{d}x+\vec{e}_y\mathrm{d}y+\vec{e}_z\mathrm{d}z$$

与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元分别为：

$$\begin{gathered} \mathrm{d}\vec{S}_{x}=\vec{e}_{x}\mathrm{d}l_{y}\mathrm{d}l_{z}=\vec{e}_{x}\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ \mathrm{d}\vec{S}_y=\vec{e}_y\mathrm{d}l_x\mathrm{d}l_z=\vec{e}_y\mathrm{d}x\mathrm{d}z \\ \mathrm{d}\vec{S}_{z}=\vec{e}_{z}\mathrm{d}l_{x}\mathrm{d}l_{y}=\vec{e}_{z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{gathered}$$

体积元为：

$$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

1.2.2 圆柱坐标系

Image 1

Image 2

圆柱坐标系的三个坐标变量为：

$$ho,\phi,z$$

它们的变化范围为：

$$0\leq\rho<\infty,0\leq\phi\leq2\pi,-\infty<z<\infty$$

圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为：

$$ho=\sqrt{x^2+y^2} ,\phi=\arctan( y/x ) ,z=z$$

坐标单位矢量为：

$$\vec{e}_\rho,\vec{e}_\phi,\vec{e}_z$$

它们的方向是$\rho、\phi$和$z$的增加的方向且遵循右手螺旋法则，如图

由此可得

$$\vec{e_\rho}=\vec{e_x}\cos\phi+\vec{e_y}\sin\phi,\vec{e_\phi}=-\vec{e_x}\sin\phi+\vec{e_y}\cos\phi$$

写成矩阵的形式为：

$$\begin{bmatrix}\boldsymbol{e}_\rho\\\boldsymbol{e}_\phi\\\boldsymbol{e}_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\phi&\sin\phi&0\\-\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{e}_x\\\boldsymbol{e}_y\\\boldsymbol{e}_z\end{bmatrix}$$

在圆柱坐标系中，坐标矢量$\vec{e_\rho}$和$\vec{e_\phi}$都表示常矢量，都是随$\phi$变化的，且

$$\begin{cases}\frac{\partial\boldsymbol{e}_\rho}{\partial\boldsymbol{\phi}}=-\boldsymbol{e}_x\sin\boldsymbol{\phi}+\boldsymbol{e}_y\cos\boldsymbol{\phi}=\boldsymbol{e}_\phi\\\\\frac{\partial\boldsymbol{e}_\phi}{\partial\boldsymbol{\phi}}=-\boldsymbol{e}_x\cos\boldsymbol{\phi}-\boldsymbol{e}_y\sin\boldsymbol{\phi}=-\boldsymbol{e}_\rho\end{cases}$$

不同点的$\vec{e_\rho}$和$\vec{e_{\phi}}$一般是不同的，因此不同点的两个矢量一般不能直接进行加法和乘法运算。

在圆柱坐标系中，位置矢量为

$$\vec{r}=\vec{e}_\rho\rho+\vec{e}_zz$$

其微分元矢量即线元矢量为：

$$\mathrm{d}\vec{l}=\vec{e}_\rho\mathrm{d}\rho+\vec{e}_\phi\rho\mathrm{d}\phi+\vec{e}_z\mathrm{d}z$$

$dl_\rho$、$dl_\phi$和$dl_z$与各自坐标变量的微分之比称为度量系数（或拉梅系数），分别用$h_\rho、h_\phi$和$h_z$表示，则

$$h_\rho=\frac{\mathrm{d}l_\rho}{\mathrm{d}\rho}=1 ,h_\phi=\frac{\mathrm{d}l_\phi}{\mathrm{d}\phi}=\rho ,h_z=\frac{\mathrm{d}l_z}{\mathrm{d}z}=1$$

在圆柱坐标系中与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元分别为：

$$\mathrm{d}\vec{S}_{\rho}=\vec{e}_{\rho}\mathrm{d}l_{\phi}\mathrm{d}l_{z}=\vec{e}_{\rho}\rho\mathrm{d}\phi\mathrm{d}z\\\mathrm{d}\vec{S}_{\phi}=\vec{e}_{\phi}\mathrm{d}l_{\rho}\mathrm{d}l_{z}=\vec{e}_{\phi}\mathrm{d}\rho\mathrm{d}z\\\mathrm{d}\vec{S}_{z}=\vec{e}_{z}\mathrm{d}l_{\rho}\mathrm{d}l_{\phi}=\vec{e}_{z}\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\phi$$

体积元为：

$$\mathrm{d}V=\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\phi\mathrm{d}z$$

1.2.3 球坐标系

Image 1

Image 2

球坐标系的三个坐标变量为

$$r,\theta,\phi$$

它们的变化范围为：

$$0\leqslant r<\infty ,0\leqslant\theta\leqslant\pi ,0\leqslant\phi\leqslant2\pi$$

球坐标系和直角坐标系的变换关系为：

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} ,\theta=\arccos\left( z/\sqrt{x^2+y^2+z^2} \right) ,\phi=\arctan\left( y/x \right)$$

坐标单位矢量为：

$$\vec{e_r},\vec{e_\theta},\vec{e_{\phi}}$$

它们的方向分别是该点$r、\theta$和$\phi$增加的方向。

球坐标系的坐标变量和直角坐标系的坐标变量的变换关系为：

$$\begin{bmatrix}e_r\\\\e_\theta\\\\e_\phi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sin\theta\mathrm{cos}\phi&\sin\theta\mathrm{sin}\phi&\cos\theta\\\\\cos\theta\mathrm{cos}\phi&\cos\theta\mathrm{sin}\phi&-\sin\theta\\\\-\sin\phi&\cos\phi&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_x\\\\e_y\\\\e_z\end{bmatrix}$$

在球坐标系中，坐标单元矢量$e_r、e_\theta$和$e_\phi$都不是常矢量，且

$$\begin{cases}\frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial\theta}=\boldsymbol{e}_\theta ,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial\boldsymbol{\phi}}=\boldsymbol{e}_\phi\sin\theta\\\\\frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial\theta}=-\boldsymbol{e}_r ,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial\boldsymbol{\phi}}=\boldsymbol{e}_\phi\cos\theta\\\\\frac{\partial\boldsymbol{e}_\phi}{\partial\theta}=0 ,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_\phi}{\partial\boldsymbol{\phi}}=-\boldsymbol{e}_r\sin\theta-\boldsymbol{e}_\phi\cos\theta\end{cases}$$

在球坐标系中，位置矢量为

$$\vec{r}=\vec{e}_rr$$

其微分元矢量（线元矢量）为：

$$\mathrm{d}\vec{l}=\vec{e}_r\mathrm{d}r+\vec{e}_\theta r\mathrm{d}\theta+\vec{e}_\phi r\sin\theta\mathrm{d}\phi$$

度量系数分别为：

$$h_{_r}=1 ,h_{_\theta}=r ,h_{_\phi}=r\sin\theta$$

在球坐标系中三个面积元分别为：

$$\begin{aligned} &\mathrm{d}\vec{S}_{r}=\vec{e}_{r}\mathrm{d}l_{\theta}\mathrm{d}l_{\phi}=\vec{e}_{r}r^{2}\mathrm{sin}\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi \\ &\mathrm{d}\vec{S}_\theta=\vec{e}_\theta\mathrm{d}l_r\mathrm{d}l_\phi=\vec{e}_zr\mathrm{sin}\theta\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \\ &\mathrm{d}\vec{S}_\phi=\vec{e}_\phi\mathrm{d}l_r\mathrm{d}l_\theta=\vec{e}_\phi r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \end{aligned}$$

体积元为：

$$\mathrm{d}V=r^2\mathrm{sin}\theta\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$

1.3 标量场方向导数与梯度

若研究的物理量是一个标量，则该物理量所确定的场为标量场，可以用一个标量函数来表示，在直角坐标系中可表示为

$$u=u(x,y,z,t)$$

或用位置矢量表示为

$$u=u(\vec{r},t)$$

如果与时间无关，可表示为

$$u=u(\vec{r})$$

1.3.1 标量场的等值面

使标量函数$u(\vec{r})$取得相同数值的点构成的空间曲面称为标量场的等值面，等值面方程为

$$u(\vec{r})=c$$

标量场的等值面是互不相交的。

1.3.2 标量场的方向导数

设$M_0$为标量场$u(M)$中的一点，从点$M_{0}$出发引一条射线$l$，点$M$是射线$l$上的动点，到点$M_{0}$的距离为$\Delta l$。当点$M$沿射线$l$趋近于$M_0($即$\Delta l\to0)$时，比值$\frac{u(M)-u(M_0)}{\Delta l}$的极限称为标量场 $u(M)$在点 $M_{0}$处沿$l$方向的方向导数，记作$\frac{\partial u}{\partial l}|{M_0}$，即

$$\frac{\partial u}{\partial l}\Bigg|_{M_0}=\lim_{\Delta l\to0}\frac{u\left(M\right)-u\left(M_0\right)}{\Delta l}$$

当$\frac{\partial u}{\partial l}>0$ 时，标量场 $u(M)$沿$l$ 方向是增加的；当$\frac{\partial u}{\partial l}<0$ 时，标量场$u(M)$沿$l$ 方向是减小的；当$\frac{\partial u}{\partial l}=0$ 时，标量场 $u(M)$沿 $l$ 方向无变化。

方向导数在直角坐标系中的计算公式

$$\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}l}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}l}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}l}$$

若射线$l$与$x$、$y$、$z$轴的夹角分别为$\alpha$、$\beta$、$\gamma$,则有

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}l}=\cos\alpha\:,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}l}=\cos\beta\:,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}l}=\cos\gamma$$

式中 cos$\alpha$、cos$\beta$、cos$\gamma$ 为$l$的方向余弦。于是，得到直角坐标系中方向导数的计算公式为

$$\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{cos}\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{cos}\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\mathrm{cos}\gamma$$

1.3.3 标量场的梯度

将标量场的梯度$u$在点$M$处的梯度定义为一个矢量，以符号$grad\:u$来表示，以$\vec{e_n}$表示变化率最大的方向的单位矢量，则

$$\mathrm{grad}\: u=\vec{e_n}\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{\mathrm{max}}$$

$grad\:u$的方向即为标量场$u$在点$M$处变化率最大的方向，其模为即为最大变换率。

在直角坐标系中，梯度的计算公式为：

$$\begin{aligned}\mathrm{grad}\: u&=\vec{e_x}( \vec{e_x} \cdot \mathrm{grad}\: u )+\vec{e_y}( \vec{e_y} \cdot \mathrm{grad} \:u )+\vec{e_z}( \vec{e_z} \cdot \mathrm{grad}\: u )\\&=\vec{e_x} \frac{\partial u}{\partial x}+\vec{e_y} \frac{\partial u}{\partial y}+\vec{e_z} \frac{\partial u}{\partial z}\end{aligned}$$

在直角坐标系中，哈密顿算符“$\nabla$”(读作“del”或“Nabla”),

$$abla=\vec{e_x}\:\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\:\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\:\frac{\partial}{\partial z}$$

算符 $\nabla$具有矢量和微分的双重性质，故又称为矢性微分算符。因此，标量场$u$ 的梯度可用哈密顿算符 $\nabla$表示为

$$\mathrm{grad}\:u=\left(\:\vec{e}_x\:\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}_y\:\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}_z\:\frac{\partial}{\partial z}\right)\:u=\:\boldsymbol{\nabla}u$$

标量场$u$的梯度可认为是算符$\nabla$作用于标量函数$u$的一种运算。

在圆柱坐标系和球坐标系中，可以得到梯度的计算式分别为

$$abla u=\vec{e_\rho}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\vec{e_\phi}\frac{\partial u}{\rho\partial\phi}+\vec{e_z}\frac{\partial u}{\partial z}\\ \nabla u=\vec{e_r}\frac{\partial u}{\partial r}+\vec{e_\theta}\frac{\partial u}{r\partial\theta}+\vec{e_\phi}\frac{\partial u}{r\mathrm{sin}\theta\partial\phi}$$

梯度运算遵循以下规则

$$abla(cu)=c\nabla u(c\text{ 为常数 })\\ \nabla\left(\begin{array}{c}u\pm v\end{array}\right)=\nabla u\pm\nabla v\\ \nabla\left(\begin{array}{c}uv\end{array}\right)=v \nabla u+u \nabla v\\ {\nabla}\bigg(\frac uv\bigg) =\frac1{v^2}( v{\nabla}u \boldsymbol{-}u {\nabla}v )\\ {\nabla}f( u )=f'( u ){\nabla}u$$

1.4 矢量场的通量和散度

若研究的物理量是一个矢量，该物理量确定的场称为矢量场，一个矢量场可用矢量函数来表示，在直角坐标系中可表示为

$$\vec{F}=\vec{F}(x,y,z,t)$$

或用位置矢量表示

$$\vec{F}=\vec{F}(\vec{r},t)$$

若与时间无关，可表示为

$$\vec{F}=\vec{F}(\vec{r})$$

在直角坐标系中

$$\vec{F}(x,y,z)=\vec{e_x}\vec{F_x}(x,y,z)+\vec{e_y}\vec{F_y}(x,y,z)+\vec{e_z}\vec{F_z}(x,y,z)$$

1.4.1 矢量场的矢量线

在直角坐标系中

$$\frac{\mathrm{d}x}{F_x}=\frac{\mathrm{d}y}{F_y}=\frac{\mathrm{d}z}{F_z}$$

1.4.2 矢量场的通量

设$S$ 为一空间曲面，$dS$为曲面$S$上的面元，取一个与此面元相垂直的单位矢量 $\vec{e_{n}}$，则称矢量

$$\mathrm{d}\vec{S}=\vec{e}_n\mathrm{d}S$$

为面元矢量。若为开曲面，则用右手螺旋法则确定$\vec{e_n}$的方向，若为闭曲面，则取外法线。

在矢量场$\vec{F}$中，任取一面元矢量 $d\vec{S}$，矢量$\vec{F}$与面元矢量 $d\vec{S}$ 的标量积$\vec{F}\cdot d\vec{S}$ 定义为矢量$\vec{F}$穿过面元矢量$d\vec{S}$的通量。将曲面$S$上各面元的$\vec{F}\cdot d\vec{S}$相加，则得到矢量$\vec{F}$穿过曲面 $S$ 的通量，即

$$\Phi = \int_{S}\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \int_{S}\vec{F} \cdot \vec{e_{_n}}\mathrm{d}S$$

在直角坐标系中 ,$dS=\vec e_x\operatorname{d}S_x+\vec e_y\operatorname{d}S_y+\vec{e}_z\operatorname{d}S_z$，所以通量可以表示为

$$\begin{aligned}\Phi&=\int_{S}(\:\vec{e_{x}}F_{x}\:+\:\vec{e_{y}}F_{y}\:+\:\vec{e_{z}}F_{z}\:)\:\cdot\:(\:\vec{e_{x}}\mathrm{d}S_{x}\:+\:\vec{e_{y}}\mathrm{d}S_{y}\:+\:\vec{e_{z}}\mathrm{d}S_{z}\:)\\&=\int_{S}(\:F_{x}\:\mathrm{d}S_{x}\:+\:F_{y}\:\mathrm{d}S_{y}\:+\:F_{z}\mathrm{d}S_{z}\:)\end{aligned}$$

若为闭合曲面，则通过闭合曲面的总通量可表示为

$$\Phi =\oint_SF \cdot \mathrm{d}S =\oint_SF \cdot e_n\mathrm{d}S$$

当$\oint _s\vec F\cdot d\vec S> 0$ 时，称之为正通量源。当$\oint _{S}\vec F\cdot d\vec S< 0$ 时，称之为负通量源。例如，静电场中的负电荷就是汇聚电场线的负通量源；当$\oint{\mathrm{s}}\vec F \cdot d\vec S=0$时，则闭合曲面$S$内无通量源。

1.4.3 矢量场的散度

在矢量场$F$中的任一点$M$处作一个包围该点的任意闭合曲面$S$，当曲面$S$以任意方式收缩至点 $M$ 时 , 所限定的体积$\Delta V$将趋近于0,若比值$\frac{\oint_{s}\vec F\cdot\mathrm{d}\vec S}{\Delta V}$的极限存在，则将此极限称为矢量场$\vec F$在点$M$处的散度，并记作 $div \:\vec F$,即

$$\mathrm{div}\:\vec F\:=\:\lim_{\Delta V\to0}\frac{\oint_{S}\vec F\:\cdot\:\mathrm{d}\vec S}{\Delta V}$$

$div\:\vec F$描述的是通量源的密度，$div\:\vec F$与体积元$\Delta V$的形状无关。

在直角坐标系中

$$\mathrm{div}\: \vec{F} = \lim_{\Delta V\to0}\frac{\oint_S\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S}}{\Delta V} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

利用算符$\nabla$ ,可将 $div \:F$表示为

$$\begin{aligned} \mathrm{div}\:\vec{F} &=\left(\:\vec{e}_{x}\:\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}_{y}\:\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}_{z}\:\frac{\partial}{\partial z}\right)\:\cdot\:(\:\vec{e}_{x}F_{x}+\vec{e}_{y}F_{y}+\vec{e}_{z}F_{z}\:)\\ &=\:\nabla\:\cdot\:\vec F \end{aligned}$$

类似地，可推出圆柱坐标系和球坐标系中的散度计算式，分别为

$$abla\cdot \vec F=\frac1\rho\frac\partial{\partial\rho}(\rho F_\rho)+\frac1\rho\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\\ \nabla\cdot \vec F=\frac{1}{r^2}\:\frac{\partial}{\partial r}(\:r^2F_r\:)+\frac{1}{r\sin\theta}\:\frac{\partial}{\partial\theta}(\:\sin\theta F_\theta\:)+\frac{1}{r\sin\theta}\:\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}$$

散度运算符合下列规则：

$$abla\cdot(c\vec F)=c\nabla\cdot \vec F(c\text{为常数})\\ \nabla\cdot(\vec F\pm \vec G)=\nabla\cdot \vec F\pm\nabla\cdot \vec G\\ \nabla\cdot(u\vec F)=u\nabla\cdot \vec F+\vec F\cdot\nabla u$$

1.4.4 散度定理

散度定理（高斯定理）表述为

$$\int_V {\nabla}\cdot\vec{F}\mathrm{d}V=\oint_S\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$$

这个定理表明矢量场的散度在任意体积$V$上的积分等于矢量场穿出限定该体积的闭合曲面$S$的通量。

1.5 矢量场的环流与旋度

1.5.1 环流与环流面密度

矢量场$\vec F$沿场中的一条有向闭合路径$C$的曲线积分

$$\Gamma=\oint_C\vec F\cdot\mathrm{d}\vec l$$

称为矢量场$\vec F$沿闭合路径$C$的环流，其中$d\vec l$是路径上的线元矢量，其大小为 $dl$、方向沿路径$C$的切线方向，如图

矢量场$\vec F$中的点$M$处选取一个方向$\vec e_n$,并以$\vec e_n$为法向量作一面元矢量$\Delta \vec S$，其边界为有向闭合路径$C$ ,且$C$的方向与面元$\Delta \vec S$的法向矢量$\vec e_n$成右螺旋关系，如图

当面元 $\Delta \vec S$保持以$\vec e_n$为法线方向以任意方式收缩至点$M$ 处时，若极限$\lim_{\Delta S\to0}\frac{\oint_{c}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec l}{\Delta S}$存在，则称$\lim_{\Delta S\to0}\frac{\oint_{c}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec l}{\Delta S}$为矢量场$F$在点$M$处沿方向$\vec{e}_n$的环流面密度，并记作$\operatorname{rot}_n\vec F$,即

$$\operatorname{rot}_n\vec{F} = \lim_{\Delta S\to0}\frac{\oint_c\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{l}}{\Delta S}$$

环流面密度不仅与点$M$的位置有关，还与面元矢量$\Delta \vec S$的法向$\vec e_n$有关。

1.5.2 矢量场的旋度

矢量场$\vec F$在点$M$处的旋度定义为一个矢量，以符号$rot\:\vec F$(或 $curl\:\vec F$)来表示，它在点$M$处沿方向$\vec e_n$的分量等于矢量场$\vec F$在点$M$处沿方向$\vec e_\mathrm{n}$的环流面密度，即

$$e_n\cdot\mathrm{~rot~}\vec F=\mathrm{rot}_n\vec F$$

所以当方向$\vec e_\mathrm{n}$与$rot \:\vec F$的方向相同时，$\vec e_\mathrm{n}\cdot rot \:\vec F$的值最$\vec e_\mathrm{n}\cdot rot \:\vec F= | rot \:\vec F|$。因此，$rot\:\vec F$的方向是使矢量场$\vec F$在点$M$处取得最大环流面密度的方向，其模$|rot \: \vec F|$等于该最大环流面密度，即

$$\mathrm{rot~}\vec{F}=\vec{e}_{\mathrm{nm}}\left(\lim_{\Delta S\to0}\frac{1}{\Delta S}\oint_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\right)_{\mathrm{max}}$$

这里$\vec e_\mathrm{nm}$是矢量场$\vec F$在点$M$处取得最大环流面密度的方向的单位矢量。

直角坐标系中，旋度的计算公式为

$$\mathrm{rot} \:\vec{F} = \vec {e}_x\Bigg(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\Bigg) + \vec{e}_y\Bigg(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\Bigg) + \vec{e}_z\Bigg(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\Bigg)$$

利用算符$\nabla$ ,可将 $rot:\vec F$表示为

$$\begin{aligned} \operatorname{rot}\vec{F}&=\left(\vec{e}_{x}\:\frac{\partial}{\partial x}\:+\:\vec{e}_{y}\:\frac{\partial}{\partial y}\:+\:\vec{e}_{z}\:\frac{\partial}{\partial z}\right)\:\times\:(\:\vec{e}_{x}F_{x}\:+\:\vec{e}_{y}F_{y}\:+\:\vec{e}_{z}F_{z})\\ &=\:\nabla\times \vec F\end{aligned}$$

上式亦可写成行列式形式

$$abla\times \vec F= \begin{vmatrix} \vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}$$

$\nabla\times \vec F$在圆柱坐标系中的表达式为

$$abla\times \vec F=\vec e_\rho\left(\frac1\rho\frac{\partial F_z}{\partial\phi}-\frac{\partial F_\phi}{\partial z}\right)\:+\:\vec e_\phi\left(\frac{\partial F_\rho}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial\rho}\right)\:+\vec{e}_z\frac1\rho{\left[\frac{\partial\left(\rho F_\phi\right)}{\partial\rho}-\frac{\partial F_\rho}{\partial\phi}\right]}$$

写成行列式形式

$$abla\times \vec F=\frac{1}{\rho}\left|\begin{array}{ccc}\vec{e}_\rho&\rho\vec{e}_\phi&\vec{e}_z\\\\ \frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\phi}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ F_\rho&\rho F_\phi&F_z\end{array}\right|$$

在球坐标系中，$\nabla\times \vec F$的表达式为

$${\nabla}\times\vec{F}=\vec{e}_r\:\frac{1}{r\sin\theta}\bigg[\:\frac{\partial}{\partial\theta}(\:\sin\theta F_\phi\:)\:-\frac{\partial F_\theta}{\partial\phi}\bigg]\:+\vec{e}_\theta\:\frac{1}{r}\bigg[\:\frac{1}{\sin\theta}\:\frac{\partial F_r}{\partial\phi}-\frac{\partial(\:rF_\phi\:)}{\partial r}\bigg]+\vec e_\phi\frac1r{\left[\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial F_r}{\partial\theta}\right]}$$

写成行列式形式

$$abla\times \vec F=\frac{1}{r^2\sin\theta}\left|\begin{array}{ccc}\vec e_r&r\vec{e}_\theta&r\sin\theta\vec{e}_\phi\\\\\frac{\partial}{\partial r}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial\phi}\\\\F_r&rF_\theta&r\sin\theta F_\phi\end{array}\right|$$

矢量场的旋度运算符合下列规则：

$$abla \times (c\vec {F}) = c{\nabla }\times \vec{F}(c为常数 )\\ \nabla\times( \vec F\pm \vec G )=\nabla\times \vec F\pm \nabla\times \vec G\\ \nabla\times( u\vec F )=u \nabla\times \vec F-\vec F\times\nabla u$$

旋度和散度的比较：

1. 旋度是矢量函数，散度是标量函数

2. 散度描述的是标量源，即散度源；旋度描述的是矢量源，即漩涡源。散度源产生的矢量场的旋度处处为零，漩涡源产生的矢量场散度处处为零。

1.5.3 斯托克斯定理

斯托克斯定理（散度定理）：

$$\int_S \nabla\times \vec F\cdot\mathrm{d}\vec S=\oint_C\vec F\cdot\mathrm{d}\vec l$$

它表明矢量场$\vec F$的旋度$\nabla\times \vec F$在曲面$S$上的面积分等于矢量场$\vec F$在限定曲面的闭合曲线$C$上的线积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系，也是矢量分析中的一个重要的恒等式。

1.6 无旋场的标量位

如果一个矢量场$\vec F$的旋度处处为0，即

$$abla\times\vec F\equiv0$$

则称该矢量场为无旋场，它是由散度源所产生的。

任何标量场的梯度场一定是无旋场，即标量场的梯度的旋度恒等于0，即

$$abla\times(\begin{array}{c}\nabla u\\\end{array})\equiv0$$

对于一个旋度处处为0的矢量场$\vec F$，总可以把它表示为某一标量场的梯度，即如果$\nabla\times\vec F\equiv 0$，存在标量函数，使得

$$\vec F=-\nabla u$$

函数u称为无旋场$\vec F$的标量位函数，简称标量位。

1.7 无散场的矢量位

如果一个矢量场$\vec F$的散度处处为0，即

$$abla\cdot \vec F \equiv 0$$

则称该矢量场为无散场，它是由漩涡源所产生的。

任何矢量场的旋度场一定是无散场，即矢量场的旋度的散度恒等于0，即

$$abla\cdot( \nabla\times \vec A )=0$$

对于一个散度处处为 0 的矢量场 $\vec F$，总可以把它表示为某一矢量场的旋度，即如果 $\nabla\cdot \vec F\equiv0$，则存在矢量函数 $\vec A$，使得

$$\vec F=\nabla\times \vec A$$

函数$\vec A$称为无散场$\vec F$的矢量位函数，简称矢量位。

1.8 格林定理

设$u$ 和$v$是体积$V$内具有连续二阶偏导数的两个任意标量函数，对矢量$u\boldsymbol{\nabla}v$应用散度定理，有

$$\int_V\:{\nabla}\cdot\:(\:u\:{\nabla}v\:)\:\mathrm{d}V=\oint_Su\:{\nabla}v\:\cdot\:\vec{e}_\mathrm{n}\:\mathrm{d}S$$

式中，$S$是体积$V$的边界面，$\vec e_{\mathrm{n}}$为曲面$S$的外法向单位矢量。由于

$$abla\:\cdot\:(\:u\:\nabla v\:)=u\:\nabla^2v+\:\nabla u\:\cdot\:\nabla v$$

代入上式得到

$$\int_V(\begin{array}{cccc}u&\nabla^2v&+&\nabla u&\cdot&\nabla v\end{array})\:\mathrm{d}V=\oint_Su\:\nabla v\:\cdot\:\vec{e}_n\mathrm{d}S$$

此式称为格林第一恒等式。

格林第二恒等式可写成

$$\int_V( u {\nabla}^2v - v {\nabla}^2u ) \mathrm{d}V=\oint_S( u {\nabla}v - v {\nabla}u ) \cdot \vec{e}_n\mathrm{d}S$$

或

$$\int_V( u \nabla^2v - v \nabla^2u ) \mathrm{d}V=\oint_S\biggl( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n}\biggr) \mathrm{d}S$$

1.9 亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理表述为在有限的区域$V$内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件(即限定区域$V$的闭合面$S$上的矢量场的分布)唯一地确定，且可表示为

$$\vec{F}\left(\vec{r}\right)=-{\nabla}u\left(\vec{r}\right)+{\nabla}\times\vec{A}\left(\vec{r}\right)$$

其中

$$u\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{{\nabla}^{\prime}\cdot\vec{F}(\vec{r}^{\prime})}{\mid\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\mid}\mathrm{d}V^{\prime}-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\frac{\vec{e}^{\prime}_{n}\cdot\vec{F}(\vec{r}^{\prime})}{\mid\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\mid}\mathrm{d}S^{\prime}\\ \vec A\left(\vec r\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times \vec F\left(\vec r'\right)}{\left|\vec r-\vec r'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\frac{\vec e'_{n}\times \vec F\left(\vec r'\right)}{\left|\vec r-\vec r'\right|}\mathrm{d}S'$$

它表明

1. 矢量场$\vec F$可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和来表示。此标量函数由$\vec F$的散度和$\vec F$在边界$S$上的法向分量完全确定；而矢量函数则由$\vec F$的旋度和$\vec F$在边界面$S$上的切向分量完全确定。
2. 由于$\nabla \times [\nabla u( \vec{r})] \equiv 0, \nabla \cdot [\nabla \times A( \vec{r})] \equiv 0$，因而一个矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即

   $$\vec F=\vec F_{l}+\vec F_{C}$$

   其中

   $$\left.\left\{\begin{array}{ll}\nabla \cdot F_{_l}= \nabla \cdot F\\\\\nabla\times F_{_l}=0 ,\end{array}\right.\right.\left\{\begin{array}{ll}\nabla \cdot F_{_C}=0\\ \\\nabla\times F_{_C}= \nabla\times F\end{array}\right.$$
3. 如果在区域$V$内矢量场 $\vec F$ 的散度与旋度均处处为 0,则 $\vec F$ 由其在边界面 $S$上的场分布完全确定；
4. 对于无界空间，只要矢量场满足

   $$\mid \vec F\mid\propto1/\mid \vec r-\vec r^{\prime}\mid^{1+\delta}\quad(\delta>0)$$

   此时，矢量场由其散度和旋度完全确定。因此，在无界空间中，散度与旋度均处处为 0 的矢量场是不存在的，因为任何一个物理场都必须有源，场是同源一起出现的，源是产生场的起因。

亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，其意义是非常重要的。分析矢量场时，总是从研究它的散度和旋度着手，得到的散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程的微分形式；或者从矢量场沿闭合曲面的通量和沿闭合路径的环流着手，得到矢量场的基本方程的积分形式。