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📔2. 信道容量

2.1 介绍

一个常见的通信系统如图

在通信系统中，通过观察 YY，我们的目标是恢复 XX。互信息量I(X,Y)=H(X)−H(X∣Y)=H(Y)−H(Y∣X)I(X,Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)定义了收到YY之后XX不确定性的减少量（反之亦然），这种不确定性是由于信道的传输。让输入XX和输出YY的取值分别为xx和yy，信道转移概率为P(Y∣X)P(Y|X)（知道 xx 已传输，则观察到 yy 的概率。它定义了信道质量。）因此XX和YY之间的互信息为

I(X,Y)=E[log⁡2P(y∣x)P(y)]=E[log⁡2P(y∣x)∑xP(y∣x)P(x)]\begin{aligned} I(X,Y)& =\mathbb{E}\left[\log_2\frac{P(y\mid x)}{P(y)}\right] \\ &=\mathbb{E}\left[\log_2\frac{P(y\mid x)}{\sum_xP(y\mid x)P(x)}\right] \end{aligned}
P(y∣x):信道质量;P(x):信源概率分布P(y|x):信道质量;P(x):信源概率分布

则信道容量的定义为：

C=max⁡P(X){I(X,Y)}C=\max_{P(X)}\{I(X,Y)\}

信道容量表示在所有信源分布P(x)P(x)上可以实现的最大互信息I(x,y)I(x,y)。在无线通信系统中，它指的是一个调制符号所能携带的最大信息比特数量，使得信息能够以任意低的错误概率被恢复。

一个无线通信系统如下

需要信道编码来实现这种可靠的通信，给定kk位信息符号（或比特），添加冗余以获得n(n>k)n(n>k)位码字符号（或位），编码率为r=knr=\frac{k}{n}。编码了可以理解为信息冗余程度。使用二进制调制，例如BPSK，如果r<Cr<C，则可以进行可靠的通信。这个性质将在香农信道编码定理（第4章）中得到证明。

离散无记忆信道：

  • 离散输入：X∈0,1,...,u−1X\in{0,1,...,u-1}

  • 离散输出：Y∈0,1,...,v−1Y\in{0,1,...,v-1}

  • 信道转移概率大于等于0，即P(y∣x)≥0P(y|x)\ge0，同时信道具有归一性，即∑yP(y∣x)=1,∀x\sum_yP(y|x)=1,\forall x，注意∑xP(x∣y)≠1,∀y\sum_xP(x|y)\ne1,\forall y。

  • 信道具有无记忆性：给定输入和输出序列x=(x1,x2,...,xn)\textbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)和y=(y1,y2,...yn)\textbf y=(y_1,y_2,...y_n)，有

    P(y∣x)=∏i=1nP(yi∣xi)P(y|x)=\prod_{i=1}^nP(y_i|x_i)

    即每一对符号之间的转移概率相互独立。转移概率P(y∣x)P(y|x)可以用转移概率矩阵表示

    Y:01⋯v−1P=X:0⋮u−1[P(0∣0)⋯P(v−1∣0)P(0∣1)⋯P(v−1∣1)⋮⋱⋮P(0∣u−1)⋯P(v−1∣u−1)]\begin{gathered}Y{:}\quad0\quad1\quad\cdots\quad v-1\\\mathbf{P}=\begin{array}{cccc}X{:}&0\\&\vdots\\&u-1\end{array}\begin{bmatrix}P(0|0)&\cdots&P(v-1|0)\\P(0|1)&\cdots&P(v-1|1)\\\vdots&\ddots&\vdots\\P(0|u-1)&\cdots&P(v-1|u-1)\end{bmatrix}\end{gathered}

2.2 二元对称信道（BSC）

  • 输入：0 1 0 0 0 1 1 0 1 0

    输出：0 1 1 1 0 0 1 0 0 0

  • 输入和输出是离散的

  • 信道传输条件概率如下：

    P(y=1∣x=0)=P(y=0∣x=1)=pP(y=0∣x=0)=P(y=1∣x=1)=1−pP(y=1|x=0)=P(y=0|x=1)=p\\P(y=0|x=0)=P(y=1|x=1)=1-p

    信道概率转移矩阵为：

    P=1−ppp1−pP=\begin{array}{|cc|}1-p&p\\p&1-p\end{array}

    这是最简单的无线通信信道模型。

现在来考虑它的信道容量。由于I(X,Y)=H(Y)−H(Y∣X)I(X,Y)=H(Y)-H(Y|X)，分析可知，当H(Y)H(Y)去最大值，H(Y∣X)H(Y|X)取最小值时，此时I(X,Y)I(X,Y)最大。其中H(Y)≤1H(Y)\le1，H(Y∣X)H(Y|X)计算如下

H(Y∣X)=−∑x∈X∑y∈YP(x,y)log2P(y∣x)=−∑x∈X∑y∈YP(y∣x)P(x)log2P(y∣x)=−P(x=0)∑y∈{0,1}P(y∣x=0)log2P(y∣x=0)−P(x=1)∑y∈{0,1}P(y∣x=1)log2P(y∣x=1)=−P(x=0)((1−p)log2(1−p)+plog2p)−P(x=1)(plog2p+(1−p)log2(1−p))=−(1−p)log2(1−p)−plog2p bits/sym.\begin{aligned} H(Y|X)&=-\sum_{x\in X}\sum_{y\in Y}P(x,y)\mathrm{log}_2P(y|x) \\ &=-\sum_{x\in X}\sum_{y\in Y}P(y|x)P(x)\mathrm{log}_2P(y|x) \\ &=-P(x=0)\sum_{y\in\{0,1\}}P(y|x=0)log_2P(y|x=0)-P(x=1)\sum_{y\in\{0,1\}}P(y|x=1)\mathrm{log}_2P(y|x=1) \\ &=-P(x=0)((1-p)\mathrm{log}_2(1-p)+p\mathrm{log}_2p)-P(x=1)(p\mathrm{log}_2p+(1-p)\mathrm{log}_2(1-p)) \\ &=-(1-p)\mathrm{log}_2(1-p)-p\mathrm{log}_2p\mathrm{~bits/sym}. \end{aligned}

当P(x=0)=P(x=1)=12,H(Y)=1P(x=0)=P(x=1)=\frac{1}{2},H(Y)=1时，信道容量C=1−H(Y∣X)bit/symbolC=1-H(Y|X)bit/symbol

为什么信源等概分布时，互信息量最大，即达到信道容量？比较浅层的理解是，当信源等概分布时，H(Y)H(Y)最大，而H(Y∣X)H(Y|X)与信源概率分布无关，所以此时互信息量最大，更深层次的理解是，信号0和信号1的传输出错概率是一样的，即P(y=0∣x=1)=P(y=1∣x=0)P(y=0|x=1)=P(y=1|x=0)，所以传输时没有必要考虑两者的差别，即等概率分布时最优。

综上，二元对称信道的信道容量

C=1+plog2p+(1−p)log2(1−p) bits/symbolC=1+p\mathrm{log}_2p+(1-p)\mathrm{log}_2(1-p)\mathrm{~bits/symbol}

2.3 二元擦除信道（BEC）

  • 输入：1 0 0 1 0 1 0 1 0 0...

    输出：1 e 0 1 e 0 e 0 e 1...

  • 信道传输条件概率如下

    P(y=e∣x=0)=P(y=e∣x=1)=pP(y=0∣x=0)=P(y=1∣x=1)=1−pP(y=e|x=0)=P(y=e|x=1)=p\\P(y=0|x=0)=P(y=1|x=1)=1-p

    信道概率转移矩阵为

    P=[1−p0p01−pp]P=\left[\begin{array}{ccc}1-p&0&p\\0&1-p&p\end{array}\right]

  • 它是计算机网络中常用的信道模型。数据包要么被完美接收，要么丢失。

现在来考虑它的信道容量，和BSC的分析类似，P(x=0)=P(x=1)=12P(x=0)=P(x=1)=\frac{1}{2}时互信息量最接近信道容量。信道容量C=H(Y)−H(Y∣X)C=H(Y)-H(Y|X)，又因为P(y=0)=P(y=1)=12(1−p)P(y=0)=P(y=1)=\frac{1}{2}(1-p)且P(y=e)=pP(y=e)=p，所以YY的熵为

H(Y)=−∑y∈YP(y)log2P(y)=−P(y=0)log2P(y=0)−P(y=e)log2P(y=e)−P(y=1)log2P(y=1)=−12(1−p)log212(1−p)−plog2p−12(1−p)log212(1−p)=−(1−p)log212(1−p)−plog2p ( bits/sym)\begin{aligned} H(Y)&=-\sum_{y\in Y}P(y)\mathrm{log}_2P(y) \\ &=-P(y=0)\mathrm{log}_2P(y=0)-P(y=e)\mathrm{log}_2P(y=e)-P(y=1)\mathrm{log}_2P(y=1)\\ &=-\frac12(1-p)\mathrm{log}_2\frac12(1-p)-p\mathrm{log}_2p-\frac12(1-p)\mathrm{log}_2\frac12(1-p) \\ &=-(1-p)\mathrm{log}_2\frac12(1-p)-p\mathrm{log}_2p\:(\mathrm{~bits/sym}) \end{aligned}

YY在XX条件下的条件熵为

H(Y∣X)=−∑x∈X∑y∈YP(y∣x)P(x)log2P(y∣x)=−P(y=0∣x=0)⋅12⋅log⁡2P(y=0∣x=0)−P(y=1∣x=1)⋅12⋅log⁡2P(y=1∣x=1)−P(y=e∣x=0)⋅12⋅log⁡2P(y=e∣x=0)−P(y=e∣x=1)⋅12⋅log⁡2P(y=e∣x=1)=−(1−p)log2(1−p)−plog2p ( bits/sym)\begin{aligned} H(Y|X) =&-\sum_{x\in X}\sum_{y\in Y}P(y|x)P(x)\mathrm{log}_2P(y|x) \\ =&-P(y=0|x=0)\cdot\frac12\cdot\log_2P(y=0|x=0) -P(y=1|x=1)\cdot\frac12\cdot\log_2P(y=1|x=1) \\ &-P(y=e|x=0)\cdot\frac12\cdot\log_2P(y=e|x=0) -P(y=e|x=1)\cdot\frac12\cdot\log_2P(y=e|x=1) \\ =&-(1-p)\mathrm{log}_2(1-p)-p\mathrm{log}_2p\:(\mathrm{~bits/sym}) \end{aligned}

综上可得

C=H(Y)−H(Y∣X)=1−p bits/sym.C=H(Y)-H(Y|X)\\=1-p\mathrm{~bits/sym.}

上图可以理解为，丢包率越小，信道容量越大，这里没有出现对称关系，是因为收到0不会翻转得到1

2.4 加性高斯白噪声信道(AWGN)

  • 加性高斯白噪声的信道模型为：y=x+ny=x+n

    xx：离散的输入信号，调制信号

    nn：独立于x的白噪声，服从N(0,σN2)N(0,σ_N^2)的高斯分布

    yy：连续的输出信号，是xx的变化形式

  • 这是一种更现实的无线信道模型，其中传输的信号受到噪声的干扰。

  • 它用于表示能够确保视距传输（LoS）的空间通信信道。

  • 它也经常被用作评估信道代码的通用平台。

信道的互信息为

I(X,Y)=H(Y)−H(Y∣X)=H(Y)−H(X+N∣X)=H(Y)−H(N∣X)=H(Y)−H(N)\begin{aligned} I(X,Y)& =H(Y)-H(Y|X) \\ &=H(Y)-H(X+N|X) \\ &=H(Y)-H(N|X) \\ &=H(Y)-H(N) \end{aligned}

信道容量为

C=max⁡P(x){I(X,Y)}=max⁡P(x){H(Y)−H(N)}\begin{aligned}\text{C}&=\max_{P(x)}\{I(X,Y)\}\\&=\max_{P(x)}\{H(Y)-H(N)\}\end{aligned}

对于AWGN，N:N(0,σN2)N:\mathcal{N}(0,\sigma_N^2)，它的PDF为

P(n)=12πσNexp⁡(−n22σN2)P(n)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_N}\exp\left(-\frac{n^2}{2\sigma_N^2}\right)

在噪声的熵为

H(N)=−∫−∞+∞P(n)log2P(n)dn=−∫−∞+∞12πσNexp⁡(−n22σN2)log⁡2(12πσNexp⁡(−n22σN2))dn=12log⁡2(2πeσN2) (bits/sym)\begin{aligned} H(N)& =-\int_{-\infty}^{+\infty}P(n)\mathrm{log}_2P(n)\mathrm{d}n \\ &=-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_N}\exp\left(-\frac{n^2}{2\sigma_N^2}\right)\log_2\left(\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_N}\exp\left(-\frac{n^2}{2\sigma_N^2}\right)\right)\mathrm{d}n \\ &=\frac12\log_2(2\pi e\sigma_N^2)\text{ (bits/sym)} \end{aligned}

直接分析，如果输入XX是连续的且服从N(μX,σX2)\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)高斯分布，则互信息量I(X,Y)I(X,Y)将取得最大值，即信道容量为

C=H(Y)−H(N)C=H(Y)-H(N)

对于输入XX，N(μX,σX2)\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)，它的PDF为

P(x)=12πσXexp⁡(−(x−μX)22σX2)P(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_X}\exp\left(-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}\right)

则XX的熵为

H(X)=−∫−∞+∞P(x)log2P(x)dx=−∫−∞+∞12πσXexp⁡(−(x−μX)22σX2)log⁡2(12πσXexp⁡(−(x−μX)22σX2))dx=12log⁡2(2πeσX2) bits/sym.\begin{aligned}H(X)&=-\int_{-\infty}^{+\infty}P(x)\mathrm{log}_2P(x)\mathrm{d}x\\&=-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_X}\exp\left(-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}\right)\log_2\left(\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_X}\exp\left(-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}\right)\right)\mathrm{d}x\\&=\frac12\log_2(2\pi e\sigma_X^2)\text{ bits/sym.}\end{aligned}

因为Y=X+NY=X+N，且XX和YY相互独立，则输出YY服从高斯分布N(μX,σX2+σN2)=N(μX,σY2)\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2+\sigma_N^2)=\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_Y^2)，则YY的熵为

H(Y)=12log⁡2(2πe(σX2+σN2)) bits/symH(Y)=\frac12\log_2(2\pi e(\sigma_X^2+\sigma_N^2))\text{ bits/sym}

综上，信道容量为

C=H(Y)−H(N)=12log⁡2(2πe(σX2+σN2))−12log⁡2(2πeσN2)=12log⁡2(1+σX2σN2)bits/sym.\begin{aligned} \text{C}& =H(Y)-H(N) \\ &=\frac12\log_2(2\pi e(\sigma_X^2+\sigma_N^2))-\frac12\log_2(2\pi e\sigma_N^2) \\ &=\frac12\log_2\left(1+\frac{\sigma_X^2}{\sigma_N^2}\right)\text{bits/sym}. \end{aligned}

其中，σX2\sigma_X^2是发射信号的功率，σN2\sigma_N^2是噪声的功率，因此σX2σN2\frac{\sigma_X^2}{\sigma_N^2}通常称为信噪比（SNR）。

上面的结论是通过假设XX服从高斯分布得来的，在实际的系统中，XX不是高斯分布的，因此这个限制是无法实现的。

电磁波中的传输因素（维度）：振幅、频率、相位，调制的维度会影响信道容量，如下图

常用的信道容量公式：

C1−dim=12⋅log⁡2(1+σX2σN2) bits/sym.C2−dim=1⋅log⁡2(1+σX2σN2) bits/sym.C3−dim=32⋅log⁡2(1+σX2σN2) bits/sym.C_{1-\mathrm{dim}}=\frac12\cdot\log_2(1+\frac{\sigma_X^2}{\sigma_N^2})\text{ bits/sym.}\\C_{2-\mathrm{dim}}=1\cdot\log_2(1+\frac{\sigma_X^2}{\sigma_N^2})\text{ bits/sym.}\\C_{3-\mathrm{dim}}=\frac32\cdot\log_2(1+\frac{\sigma_X^2}{\sigma_N^2})\text{ bits/sym.}

信噪比（σX2σN2\frac{\sigma_X^2}{\sigma_N^2}）写成分贝(dB)的形式为：

10log⁡10σX2σN210\log_{10}\frac{\sigma_X^2}{\sigma_N^2}

现在我们考虑带宽受限的AWGN信号。在实际系统中，接收端需要进行采样来重建接收信号，如图所示

如果信号的频率为 WW，则采样频率至少应为 2W2W，才能完美重构信号，如图所示

通过采样，我们现在得到了一系列时间离散的高斯样本，信道模型变为

y(t=s2W)=x(t=s2W)+n(t=s2W),s=1,2,⋯y\left(t=\frac s{2W}\right)=x\left(t=\frac s{2W}\right)+n\left(t=\frac s{2W}\right),s=1,2,\cdots

信号y(t=s2W)y\left(t=\frac s{2W}\right)有方差σX2\sigma_X^2，噪声n(t=s2W)n(t=\frac s{2W})有方差σN2\sigma_N^2。

每个时刻离散高斯信道的容量为

Cs=12log2(1+σX2σN2)bits/sampleC_s=\frac12\mathrm{log}_2\left(1+\frac{\sigma_X^2}{\sigma_N^2}\right)\quad\text{bits/sample}

  • σN2\sigma_N^2：噪声样本的功率谱密度

  • N0N_0：噪声符号的功率谱密度

  • σX2\sigma_X^2：信号样本的功率

  • EE：信号符号的功率

取一段时间TT，由

σX2⋅2W⋅T=E⋅T\sigma_X^2\cdot2W\cdot T=E\cdot T

得

E=2WσX2E=2W\sigma_X^2

同理，由

σN2⋅2W⋅T=N0⋅W⋅T\sigma_N^2\cdot2W\cdot T=N_0\cdot W\cdot T

得

σN2=N02\sigma_N^2=\frac{N_0}2

因此

Cs=12log⁡2(1+EWN0)bits/sampleC_s=\frac12\log_2\left(1+\frac E{WN_0}\right)\quad\text{bits/sample}

这是用信号高能量和噪声功率的比值来表示某个采样点的信道容量。

带宽受限的AWGN信号的信道容量为

C=∑s=12WTCsT,T–sampling durationC=\frac{\sum_{s=1}^{2WT}C_s}T,T–\text{sampling duration}

继续展开

C=2WT⋅12log⁡2(1+EWN0)T=Wlog⁡2(1+EWN0)bits/sec.C=\frac{2WT\cdot\frac12\log_2\left(1+\frac E{WN_0}\right)}T=W\log_2\left(1+\frac E{WN_0}\right)\quad\text{bits/sec.}

香农极限：要通过高斯信道实现无误差传输，信噪比EbN0\frac{E_b}{N_0}至少为−1.6dB-1.6dB

证明：

这种可能性是通过信道编码（信息长度k，码字长度n）来保证的，令EbE_b和EcE_c分别表示每个信息符号和每个编码符号的能量，使它们满足

k⋅Eb=n⋅Eck\cdot E_b=n\cdot E_c

这样添加冗余度就不会增加传输能量。

以BPSK为例，调制符号的能量为

E=Ec=Eb⋅kn=Eb⋅rE=E_c=\frac{E_b\cdot k}n=E_b\cdot r

假设信号频率W→∞W\to\infty，则

C=lim⁡W→∞Wlog⁡2(1+EN0W)=EN0ln2=Eb⋅rN0ln2 bits/sec.\begin{aligned} \text{C}& =\lim_{W\to\infty}W\log_2\left(1+\frac E{N_0W}\right) \\ &=\frac E{N_0\mathrm{ln}2} \\ &=\frac{E_b\cdot r}{N_0\mathrm{ln}2}\mathrm{~bits/sec}. \end{aligned}

为了实现无错误传输，需要

r<C⟹EbN0>ln⁡2=0.69r<C\Longrightarrow\frac{E_b}{N_0}>\ln2=0.69

夹断信噪比为

SNRoff=10log100.69=−1.6 dB\mathrm{SNR_{off}=10log_{10}0.69=-1.6~dB}

有限调制字母表，即不再假设输入为高斯信号，而是有限调制字母表。在无线通信系统中，数字信号被调制（映射）为模拟信号进行传输。常用的调制方案包括：

AWGN 信道具有有限输入但连续输出。

  • 输入X∈x1,x2,...,xMX\in{x_1,x_2,...,x_M}，BPSK：M=2，QPSK：M=4，16QAM：M=16

  • 输出y=x+ny=x+n，其中nn是AWGN

  • 信道容量

    C=max⁡P(xi){∑i=1M∫y:−∞+∞P(xi,y)log2P(y∣xi)P(y)dy}C=\max_{P(x_i)}\left\{\sum_{i=1}^M\int_{y:-\infty}^{+\infty}P(x_i,y)\mathrm{log}_2\frac{P(y|x_i)}{P(y)}\mathrm{d}y\right\}

    由于

    P(xi,y)=P(y∣xi)P(xi)P(y)=∑i′=1MP(y∣xi′)P(xi′)P(x_i,y)=P(y|x_i)P(x_i)\\ P(y)=\sum_{i^{\prime}=1}^MP(y|x_{i^{\prime}})P(x_{i^{\prime}})

    CC可继续化简为

    C=max⁡P(xi){∑i=1M∫y:−∞+∞P(y∣xi)P(xi)log2P(y∣xi)P(y)dy}C=\max_{P(x_i)}\left\{\sum_{i=1}^M\int_{y:-\infty}^{+\infty}P(y|x_i)P(x_i)\mathrm{log}_2\frac{P(y|x_i)}{P(y)}\mathrm{d}y\right\}
    C=max⁡P(xi){∑i=1MP(xi)∫y:−∞+∞P(y∣xi)log2P(y∣xi)∑i′=1MP(xi′)P(y∣xi′)dy}C=\max_{P(x_i)}\left\{\sum_{i=1}^MP(x_i)\int_{y:-\infty}^{+\infty}P(y|x_i)\mathrm{log}_2\frac{P(y|x_i)}{\sum_{i^{\prime}=1}^MP(x_{i^{\prime}})P(y|x_{i^{\prime}})}\mathrm{d}y\right\}

    假设每个调制符号都有同等的可能性被传输，则有

    P(xi)=P(xi′)=1MP(x_i)=P(x_{i^{\prime}})=\frac1M

    所以信道容量为

    C=1M∑i=1M∫y:−∞+∞P(y∣xi)log⁡2P(y∣xi)1M∑i′=1MP(y∣xi′)dy=1M∑i=1ME[log⁡2P(y∣xi)1M∑i′=1MP(y∣xi′)]=1M∑i=1ME[log⁡2M+log⁡2P(y∣xi)∑i′=1MP(y∣xi′)]=log⁡2M−1M∑i=1ME[log⁡2∑i′=1MP(y∣xi′)P(y∣xi)]=log⁡2M−1M∑i=1ME[log⁡2∑i′=1Mexp⁡(∣y−xi∣2−∣y−xi,∣22σN2)]bits/sym.\begin{aligned} \text{C}& =\frac1M\sum_{i=1}^M\int_{y:-\infty}^{+\infty}P(y|x_i)\log_2\frac{P(y|x_i)}{\frac1M\sum_{i^{\prime}=1}^MP(y|x_{i^{\prime}})}\mathrm{d}y \\ &=\frac1M\sum_{i=1}^M\mathbb{E}\left[\log_2\frac{P(y|x_i)}{\frac1M\sum_{i^{\prime}=1}^MP(y|x_{i^{\prime}})}\right]\\ &=\frac1M\sum_{i=1}^M\mathbb{E}\left[\log_2M+\log_2\frac{P(y|x_i)}{\sum_{i^{\prime}=1}^MP(y|x_{i^{\prime}})}\right] \\ &=\log_2M-\frac1M\sum_{i=1}^M\mathbb{E}\left[\log_2\frac{\sum_{i^{\prime}=1}^MP(y|x_{i^{\prime}})}{P(y|x_i)}\right] \\ &=\log_2M-\frac{1}{M}\sum_{i=1}^M\mathbb{E}\left[\log_2\sum_{i'=1}^M\exp\left(\frac{|y-x_i|^2-|y-x_i,|^2}{2\sigma_N^2}\right)\right]\quad\text{bits/sym.} \end{aligned}

考虑有限输入的信道容量

2.5 衰落信道

  • 信道模型：y=a⋅x+ny=a\cdot x +n

  • 衰落系数𝛼进一步表示信号衰减、信号散射、路径损耗和多径累积的影响。

  • 它是城市通信常采用的信道模型。

  • 如果α\alpha服从α=∣α∣exp⁡(jφ)\alpha=|\alpha|\exp(j\varphi)的瑞利分布，则称为瑞利衰落信道。

  • 衰落类型

    • 快速衰落：每个xx都经过一个独立的衰落系数α\alpha

    • 准静态衰落：在传输一个代码字的过程中，α\alpha保持不变，并且从一个代码字到另一个代码字独立地变化。

    • 块衰落：α\alpha逐块变化

  • 假设发射机和接收机都知道衰落系数α\alpha，瞬时容量为

    C(αi)=Wlog2(1+αi2⋅E(αi)WN0)C(\alpha_i)=W\mathrm{log}_2\left(1+\frac{\alpha_i^2\cdot E(\alpha_i)}{WN_0}\right)

    E(αi)E(\alpha_i)：信号功率取决于αi\alpha_i，它是由特定衰落实现αi\alpha_i所定义的最大可实现传输速率。

  • 遍历容量：

    C=max⁡E(αi)E[Wlog2(1+αi2⋅E(αi)WN0)]C=\max_{E(\alpha_i)}\mathbb{E}\left[W\mathrm{log}_2\left(1+\frac{\alpha_i^2\cdot E(\alpha_i)}{WN_0}\right)\right]

    它是所有衰落实现中可以实现的平均传输速率。

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