2. 确知信号

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2. 确知信号

2.1 确知信号的类型

确知信号( deterministic signal)是指其取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，确知信号可以分为周期信号( periodic signal)和非周期信号( nonperiodic signal)。在数学上，若信号 $s(t)$ 满足下述条件：

s(\:t\:)\:=\:s(\:t\:+\:T_0\:)\quad-\:\infty\:<\:t\:<\:\infty

式中 $T_0>0$ 为一常数，则称此信号为周期信号，否则为非周期信号，满足该式最小 $T_0$ 称为此信号的周期，将 $1/T_0$ 称为基频 $f_0$ 。

按照能量是否有限区分，信号可以分为能量信号( energy signal)和功率信号( power signal)两类。若信号的能量是一个正的有限值，即

0\:<\:E\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t\:<\:\infty

则称此信号为能量信号。我们将信号的平均功率定义为

P\:=\:\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t

由上式可以看出，能量信号的平均功率 $P=0$ ，因为若信号的能量有限，则在被趋于无穷大的时间 $T$ 去除后，所得平均功率趋近于零。在实际的通信系统中，信号都具有有限的功率、有限的持续时间，因而具有有限的能量。但是，若信号的持续时间非常长，如广播信号，则可以近似认为它具有无限长的持续时间。此时，认为信号平均功率是一个有限的正值，但是其能量近似等于无穷大。我们把这种信号称为功率信号。

2.2 确知信号的频域性质

2.2.1 功率信号的频谱

令

可以计算，实信号 s(t)的各次谐波的振幅为

它分布在全部正负频率范围，并且是实信号各次谐波振幅的一半，通常称为双边谱。可以认为，若将数学上频谱函数的负频率分量的模和正频率分量的模相加，就等于物理上实信号的频谱的模。

2.2.2 能量信号的频谱密度

在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱；这时在概念上不要把它和周期信号的频谱相混淆。实能量信号的频谱密度和实功率信号的频谱有一个共同的特性，即其负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称。或者说，其频谱密度的正频率部分和负频率部分成复数共轭(complex conjugate)关系。

示例：求单位冲击函数的频谱密度：

单位冲激函数常简称为δ 函数，其定义是：

通常我们认为这个冲激函数是其自变量的偶函数。在物理意义上，单位冲激函数可以看作是一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1 的脉冲。我们可以用抽样函数( sample function)的极限描述。可以证明，抽样函数有如下性质：

在上面的计算中用了以下关系：

上式表明单位冲激函数的频谱密度等于 1,即它的各频率分量连续地均匀分布在整个频率轴上。

单位冲激函数具有如下一个非常有用的特性，即

有时我们可以把功率信号当作能量信号看待，计算其频谱密度。功率信号的频谱中，在其各个谐波频率上具有一定的非零功率，故在这些频率上的功率密度为无穷大。但是，我们可以用冲激函数来表示这些频率分量。只要引入冲激函数，我们同样可以求出一个功率信号的频谱密度。

2.2.3 能量信号的能量谱密度

式中

为能量谱密度。

2.2.4 功率信号的功率谱密度

于是，信号的功率谱密度( power spectrum density)的定义为

信号功率则为

并且由周期函数的巴塞伐尔定理得

式中

2.3 确知信号的时域性质

2.3.1 能量信号的自相关函数

根据定义，有

可以证明，能量信号的自相关函数的傅里叶变换就是其能量谱密度。反之，能量信号的能量谱密度的逆傅里叶变换就是能量信号的自相关函数，即

2.3.2 功率信号的自相关函数

功率信号的自相关函数也是偶函数，对于周期性功率信号，自相关函数的定义可以改写为

2.3.3 能量信号的互相关函数

证明如下：

可以证明，互相关函数和互能量谱密度也是一对傅里叶变换。即

2.3.4 功率信号的互相关函数

若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为

可以证明，在功率信号的互相关函数和其功率谱之间也有如下简单的傅里叶变换关系：

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2.1 确知信号的类型

s(\:t\:)\:=\:s(\:t\:+\:T_0\:)\quad-\:\infty\:<\:t\:<\:\infty

式中 $T_0>0$ 为一常数，则称此信号为周期信号，否则为非周期信号，满足该式最小 $T_0$ 称为此信号的周期，将 $1/T_0$ 称为基频 $f_0$ 。

按照能量是否有限区分，信号可以分为能量信号( energy signal)和功率信号( power signal)两类。若信号的能量是一个正的有限值，即

0\:<\:E\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t\:<\:\infty

则称此信号为能量信号。我们将信号的平均功率定义为

P\:=\:\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t

2.2 确知信号的频域性质

2.2.1 功率信号的频谱

设一个周期性功率信号 $s(t)$ 的周期为 $T_0$ ,则将其频谱( frequency spectrum)函数定义为下式积分变换：

C_n\:=\:C(\:nf_0\:)\:=\:\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi nf_0t}\:\mathrm{d}t

式中： $f_0=1/T_0;n$ 为整数， $-\infty<n<+\infty;C(nf_0)$ 表示 $C$ 是 $nf_0$ 的函数，并简记为 $C_n$ 。上式就是周期性函数展开成傅里叶级数的系数，即周期性信号可以展开成如下的傅里叶级数：

s\left(\:t\:\right)\:=\:\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}C_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi nt/T_{0}}

当 $n=0$ 时，

C_0\:=\:\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t

它是信号 $s(t)$ 的时间平均值，即直流分量。

一般说来，频谱函数 $C_n$ 是一个复数，代表在频率 $nf_0$ 上信号分量的复振幅( complex amplitude)。我们可以把它写作：

C_n\:=\mid\:C_n\mid\:\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_n}

式中： $|C_n|$ 为频率 $nf_0$ 的信号分量的振幅； $\theta_n$ 为频率 $nf_0$ 的信号分量的相位。

由于 $n$ 可以取负值，所以在负频率上 $C_n$ 也有值。通常称 $C_n$ 为双边( 频) 谱。频谱函数的正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系。即负频谱和正频谱的模是偶对称的，相位是奇对称的，如下图：

令

C_n = \frac{1}{2}( a_n - \mathrm{j}b_n )

可以计算，实信号 s(t)的各次谐波的振幅为

\sqrt {a_n^2+b_n^2}

仅有正频率分量，相位为 $\theta$ ，通常称为单边谱。数学上频谱函数的各次谐波的振幅：

\mid C_n\mid=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}

若 $s(t)$ 不但是实信号，而且还是偶信号，将 $C_{n}$ 进行展开

\begin{aligned}C_{n}&=\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s\left(\:t\:\right)\mathrm{e}^{-j2\pi n(\rho t}\mathrm{d}t\: =\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s\left(\:t\:\right)\left[\:\cos\left(\:2\pi nf_{0}t\:\right)\:-\mathrm{j}\sin\left(\:2\pi nf_{0}t\:\right)\:\right]\mathrm{d}\\ &=\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s\left(\:t\:\right)\cos\left(\:2\pi nf_{0}t\:\right)\mathrm{d}t\:-\:\mathrm{j}\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s\left(\:t\:\right)\sin\left(\:2\pi nf_{0}t\:\right)\mathrm{d}t\\ &=\:\mathrm{Re}(\:C_{n}\:)\:-\mathrm{jIm}(\:C_{n}\:)\end{aligned}

式中：Re $(C_n)$ 为 $C_n$ 的实部； $\operatorname{Im}(C_n)$ 为 $C_n$ 的虚部。由于 $s(t)$ 是偶信号，则因被积函数是奇函数，使 $C_n$ 的虚部等于 $0$ ,所以 $C_n$ 为实函数。

2.2.2 能量信号的频谱密度

设一个能量信号为 $s(t)$ ,则将它的傅里叶变换 $S(f)$ 义为它的频谱密度( frequency spectrum density):

S(f)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}t

而 $S(f)$ 的逆傅里叶变换就是原信号：

s\left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}S\left(f\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}f

能量信号的频谱密度 $S(f)$ 和周期性功率信号的频谱 $C_n$ 的主要区别有两点：

$S(f)$ 是连续谱， $C_n$ 是离散谱；
$S(f)$ 的单位是伏/赫(V/Hz)，而 $C_n$ 的单位是伏(V)。

示例：求单位冲击函数的频谱密度：

单位冲激函数常简称为δ 函数，其定义是：

\begin{cases}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:1\\\\\delta(\:t\:)\:=\:0\quad t\:\neq\:0\end{cases}

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{k}{\pi}\mathrm{Sa}(\:kt\:)\:\mathrm{d}t\:=\:1

$k$ 越大，波形零点的间隔越小，波形振荡的衰减越快。当 $k\to\infty$ 时，波形的零点间隔趋近于0，被积因子仅在原点存在，但是曲线下的净面积仍等于1。即抽样函数的极限就是冲激函数。

单位冲激函数 $\delta(t)$ 的频谱密度 $\Delta(f)$ 为

\Delta(f)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi/t}\mathrm{d}t\:=\:1\:\cdot\:\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:1

在上面的计算中用了以下关系：

\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mid_{t=0}=1

上式表明单位冲激函数的频谱密度等于 1,即它的各频率分量连续地均匀分布在整个频率轴上。

单位冲激函数具有如下一个非常有用的特性，即

\begin{align} f(\:t_0\:)&=\:\int_{-\infty}^{\infty}f(\:t\:)\delta(\:t\:-\:t_0\:)\:\mathrm{d}t\\ &=f( t_{0} ) \int_{-\infty}^{\infty}\delta( t - t_{0} ) \mathrm{d}t =f( t_{0} ) \end{align}

上述积分的物理意义可看成用 $\delta$ 函数在 $t=t_0$ 时刻对 $f(t)$ 抽样。

2.2.3 能量信号的能量谱密度

设一个能量信号 $s( t )$ 的能量为 $E$ ,则此信号的能量为

E\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t

若此信号的傅里叶变换( 频谱密度)为 $S(f)$ ,则由巴塞伐尔( Parseval)定理

E\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}\mid\:S(f)\mid^{2}\mathrm{d}f

上式表示 $|S(f)|^2$ 在频率轴 $f$ 上的积分等于信号能量，所以称 $|S(f)|^2$ 为能量谱密度( energy spectrum density)，它表示在频率 $f$ 处宽度为 $df$ 的频带内的信号能量，或者也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可改写成

E\:=\:\int_{-\infty}^{x}G(f)\:\mathrm{d}f

式中

G(f)\:=\mid S(f)\mid^2\quad(\:\mathrm{J/Hz})

为能量谱密度。

由于信号 $s(t)$ 是一个实函数，所以 $|S(f)|$ 是一个偶函数。也可写成

E\:=\:2\:\int_{0}^{\infty}G(f)\:\mathrm{d}f

2.2.4 功率信号的功率谱密度

为了求功率信号的功率谱密度，我们首先将信号 $s(t)$ 截短为长度等于 $T$ 的一个截短信号 $s_T(t),-T/2<t<T/2$ 。这样， $s_T(t)$ 就成为一个能量信号了。对于这个能量信号，我们就可以用傅里叶变换求出其能量谱密度 $|S_T(f)|^2$ ,并由巴塞伐尔定理有

E\:=\:\int_{-T/2}^{T/2}s_{T}^{2}(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}\:|\:S_{T}(f)\:|^{2}\mathrm{d}f

于是，信号的功率谱密度( power spectrum density)的定义为

P(f) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}| S_{T}(f) |^{2}

信号功率则为

P\:=\:\lim_{T\to\infty}\:\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}\:|\:S_{T}(f)\:|^{2}\mathrm{d}f\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}P(f)\:\mathrm{d}f

如果该功率信号具有周期性，则可以将 $T$ 选作等于信号的周期 $T_0$ ,并且用傅里叶级数代替傅里叶变换，求出信号的频谱。

P\:=\:\lim_{T\to\infty}\:\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t\:=\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t

并且由周期函数的巴塞伐尔定理得

P\:=\:\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s^2\:(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}\:|\:C_n\:|^2

式中 $:C_n$ 为此周期信号的傅里叶级数的系数

若 $f_0$ 是此信号的基波频率，则 $C_n$ 是此信号的第 $n$ 次谐波( 其频率为 $nf_0$ )的振幅； $|C_n|^2$ 为第 $n$ 次谐波的功率，可以称为信号的( 离散)功率谱。

借助 $\delta$ 函数函数，可以用连续的功率谱密度表示此离散谱( discrete spectrum)

P\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}\:|\:C(f)\:|^{2}\delta(f-nf_{0})\:\mathrm{d}f

式中

C(f)\:=\:\begin{cases}C_n&f\:=\:nf_0\\0&\text{其他}\end{cases}

式(2.2-44)中的被积因子就是此信号的功率谱密度 $P(f)$ ,即

P(f) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} | C(f) |^{2}\delta(f-nf_{0})

2.3 确知信号的时域性质

2.3.1 能量信号的自相关函数

能量信号 $s(t)$ 的自相关函数的定义为

R(\tau)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:t\:)s(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

自相关函数反映了一个信号与延迟 $\tau$ 后的同一信号间的相关程度。自相关函数 $R(\tau)$ 和时间 $t$ 无关，只和时间差 $\tau$ 有关。当 $\tau=0$ 时，能量信号的自相关函数 $R(0)$ 等于信号的能量，即

R(\:0\:)\:=\:\int_{-x}^{x}s^{2}\:(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:E

$R(\tau)$ 是 $\tau$ 的偶函数，证明如下：

根据定义，有

R(\:-\:\tau\:)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:t\:)\:s(\:t\:-\:\tau\:)\:\mathrm{d}t

令 $x=t-\tau$ ,得

R(-\tau)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:x\:+\:\tau)s(\:x\:)\:\mathrm{d}(\:x\:+\:\tau\:)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:x\:)s(\:x\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}x\:=\:R(\:\tau\:)

可以证明，能量信号的自相关函数的傅里叶变换就是其能量谱密度。反之，能量信号的能量谱密度的逆傅里叶变换就是能量信号的自相关函数，即

\begin{array}{rcl}R(\:\tau\:)&=\:\int_{-\infty}^{\infty}\:|\:S(f)\:|^{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi f\tau}\mathrm{d}f\end{array}

$R(\tau)$ 和构成一对傅里叶变换。

2.3.2 功率信号的自相关函数

功率信号 $s(t)$ 的自相关函数的定义为

R(\:\tau\:)\:=\:\lim_{T\to\infty}\:\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s(\:t\:)s(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

由定义式不难看出，当 $\tau=0$ 时，功率信号的自相关函数 $R(0)$ 等于信号的平均功率，即

R(0)\:=\:\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^{2}(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:P

功率信号的自相关函数也是偶函数，对于周期性功率信号，自相关函数的定义可以改写为

R(\:\tau\:)\:=\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s(\:t\:)s(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

可以证明，周期性功率信号的自相关函数 $R(\tau)$ 和其功率谱密度 $P(f)$ 之间是傅里叶变换关系，即 $P(f)$ 的逆傅里叶变换是 $R(\tau)$ ，而 $R(\tau)$ 的傅里叶变换是功率谱密度，即

P(f)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}R(\:\tau\:)\:\mathrm{e}^{-j2\pi f\tau}\:\mathrm{d}\tau

2.3.3 能量信号的互相关函数

两个能量信号 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的互相关函数的定义为

R_{12}(\tau)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s_{1}(\:t\:)s_{2}(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

互相关函数反映了一个信号和延迟 $\tau$ 后的另一个信号间相关的程度。互相关函数 $R_{12}(\tau)$ 和时间$t$无关，只和时间差 $\tau$ 有关。互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关，即

R_{21}(\:\tau\:)\:=\:R_{12}(\:-\:\tau\:)

证明如下：

若令 $x=t+\tau$ ,得

\begin{aligned}R_{21}\left(\:\tau\:\right)&=\:\int_{-\infty}^{\infty}s_{2}\left(\:t\:\right)s_{1}\left(\:t\:+\:\tau\:\right)\mathrm{d}t\: =\:\int_{-\infty}^{\infty}s_{2}\left(\:x\:-\:\tau\:\right)s_{1}\left(\:x\:\right)\mathrm{d}x\\ &=\:\int_{-\infty}^{x}s_{1}\left(\:x\:\right)s_{2}\left[\:x\:+\:(\:-\:\tau\:)\:\right]\mathrm{d}x\: =\:R_{12}\left(\:-\:\tau\:\right)\end{aligned}

可以证明，互相关函数和互能量谱密度也是一对傅里叶变换。即

S_{12}\left(f\right)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}R_{12}\left(\:\tau\:\right)\mathrm{e}^{-j2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau

2.3.4 功率信号的互相关函数

两个功率信号 $s_1(t)$ 和s_2(t)\ $s_2(t)$ 的互相关函数的定义为

R_{12}(\:\tau\:)\:=\:\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s_{1}(\:t\:)s_{2}(\:t\:+\:\tau\:)\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

同样，功率信号的互相关函数 $R_{12}(\tau)$ 也和时间 $t$ 无关，只和时间差 $\tau$ 有关，并且互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关。即

R_{21}\left(\tau\right)=R_{12}\left(\tau\right)

若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为

R_{12}(\tau)\:=\:\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s_{1}(\:t\:)s_{2}(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

可以证明，在功率信号的互相关函数和其功率谱之间也有如下简单的傅里叶变换关系：

R_{12}\left(\tau\right)=\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}\left[\:C_{12}\:\right]\mathrm{e}^{i2\:\pi nf_{0}T}

式中 $:C_{12}=(C_{n})_{1}^{*}(C_{n})_{2}$ 称为信号的互功率谱

周期性功率信号的互功率谱 $C_{12}$ 是其互相关函数 $R_{12}(\tau)$ 的傅里叶级数的系数。若用傅里叶变换表示，上式可以改写为

R_{12}\left(\tau\right)\:=\:\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}\:\int_{-\infty}^{\infty}C_{12}\left(f\right)\delta\left(f-nf_{0}\right)\mathrm{e}^{i2\pi nf_{0\tau}}\mathrm{d}f

式中： $\int_{-\infty}^{\infty}C_{12}(f)\delta(f-nf_{0})df=C_12=(C_{n}){1}^{*}(C{n})_{20}$

设一个周期性功率信号 $s(t)$ 的周期为 $T_0$ ,则将其频谱( frequency spectrum)函数定义为下式积分变换：

C_n\:=\:C(\:nf_0\:)\:=\:\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi nf_0t}\:\mathrm{d}t

s\left(\:t\:\right)\:=\:\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}C_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi nt/T_{0}}

当 $n=0$ 时，

C_0\:=\:\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t

它是信号 $s(t)$ 的时间平均值，即直流分量。

一般说来，频谱函数 $C_n$ 是一个复数，代表在频率 $nf_0$ 上信号分量的复振幅( complex amplitude)。我们可以把它写作：

C_n\:=\mid\:C_n\mid\:\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_n}

式中： $|C_n|$ 为频率 $nf_0$ 的信号分量的振幅； $\theta_n$ 为频率 $nf_0$ 的信号分量的相位。

C_n = \frac{1}{2}( a_n - \mathrm{j}b_n )

\sqrt {a_n^2+b_n^2}

仅有正频率分量，相位为 $\theta$ ，通常称为单边谱。数学上频谱函数的各次谐波的振幅：

\mid C_n\mid=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}

若 $s(t)$ 不但是实信号，而且还是偶信号，将 $C_{n}$ 进行展开

\begin{aligned}C_{n}&=\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s\left(\:t\:\right)\mathrm{e}^{-j2\pi n(\rho t}\mathrm{d}t\: =\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s\left(\:t\:\right)\left[\:\cos\left(\:2\pi nf_{0}t\:\right)\:-\mathrm{j}\sin\left(\:2\pi nf_{0}t\:\right)\:\right]\mathrm{d}\\ &=\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s\left(\:t\:\right)\cos\left(\:2\pi nf_{0}t\:\right)\mathrm{d}t\:-\:\mathrm{j}\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s\left(\:t\:\right)\sin\left(\:2\pi nf_{0}t\:\right)\mathrm{d}t\\ &=\:\mathrm{Re}(\:C_{n}\:)\:-\mathrm{jIm}(\:C_{n}\:)\end{aligned}

设一个能量信号为 $s(t)$ ,则将它的傅里叶变换 $S(f)$ 义为它的频谱密度( frequency spectrum density):

S(f)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}t

而 $S(f)$ 的逆傅里叶变换就是原信号：

s\left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}S\left(f\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{d}f

能量信号的频谱密度 $S(f)$ 和周期性功率信号的频谱 $C_n$ 的主要区别有两点：

$S(f)$ 是连续谱， $C_n$ 是离散谱；

$S(f)$ 的单位是伏/赫(V/Hz)，而 $C_n$ 的单位是伏(V)。

\begin{cases}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:1\\\\\delta(\:t\:)\:=\:0\quad t\:\neq\:0\end{cases}

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{k}{\pi}\mathrm{Sa}(\:kt\:)\:\mathrm{d}t\:=\:1

单位冲激函数 $\delta(t)$ 的频谱密度 $\Delta(f)$ 为

\Delta(f)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\:t\:)\:\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi/t}\mathrm{d}t\:=\:1\:\cdot\:\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:1

\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mid_{t=0}=1

\begin{align} f(\:t_0\:)&=\:\int_{-\infty}^{\infty}f(\:t\:)\delta(\:t\:-\:t_0\:)\:\mathrm{d}t\\ &=f( t_{0} ) \int_{-\infty}^{\infty}\delta( t - t_{0} ) \mathrm{d}t =f( t_{0} ) \end{align}

上述积分的物理意义可看成用 $\delta$ 函数在 $t=t_0$ 时刻对 $f(t)$ 抽样。

设一个能量信号 $s( t )$ 的能量为 $E$ ,则此信号的能量为

E\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t

若此信号的傅里叶变换( 频谱密度)为 $S(f)$ ,则由巴塞伐尔( Parseval)定理

E\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}\mid\:S(f)\mid^{2}\mathrm{d}f

E\:=\:\int_{-\infty}^{x}G(f)\:\mathrm{d}f

G(f)\:=\mid S(f)\mid^2\quad(\:\mathrm{J/Hz})

由于信号 $s(t)$ 是一个实函数，所以 $|S(f)|$ 是一个偶函数。也可写成

E\:=\:2\:\int_{0}^{\infty}G(f)\:\mathrm{d}f

E\:=\:\int_{-T/2}^{T/2}s_{T}^{2}(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}\:|\:S_{T}(f)\:|^{2}\mathrm{d}f

P(f) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}| S_{T}(f) |^{2}

P\:=\:\lim_{T\to\infty}\:\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}\:|\:S_{T}(f)\:|^{2}\mathrm{d}f\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}P(f)\:\mathrm{d}f

如果该功率信号具有周期性，则可以将 $T$ 选作等于信号的周期 $T_0$ ,并且用傅里叶级数代替傅里叶变换，求出信号的频谱。

P\:=\:\lim_{T\to\infty}\:\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t\:=\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s^{2}\left(\:t\:\right)\mathrm{d}t

P\:=\:\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s^2\:(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}\:|\:C_n\:|^2

式中 $:C_n$ 为此周期信号的傅里叶级数的系数

借助 $\delta$ 函数函数，可以用连续的功率谱密度表示此离散谱( discrete spectrum)

P\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}\:|\:C(f)\:|^{2}\delta(f-nf_{0})\:\mathrm{d}f

C(f)\:=\:\begin{cases}C_n&f\:=\:nf_0\\0&\text{其他}\end{cases}

式(2.2-44)中的被积因子就是此信号的功率谱密度 $P(f)$ ,即

P(f) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} | C(f) |^{2}\delta(f-nf_{0})

能量信号 $s(t)$ 的自相关函数的定义为

R(\tau)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:t\:)s(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

R(\:0\:)\:=\:\int_{-x}^{x}s^{2}\:(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:E

$R(\tau)$ 是 $\tau$ 的偶函数，证明如下：

R(\:-\:\tau\:)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:t\:)\:s(\:t\:-\:\tau\:)\:\mathrm{d}t

令 $x=t-\tau$ ,得

R(-\tau)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:x\:+\:\tau)s(\:x\:)\:\mathrm{d}(\:x\:+\:\tau\:)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s(\:x\:)s(\:x\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}x\:=\:R(\:\tau\:)

\begin{array}{rcl}R(\:\tau\:)&=\:\int_{-\infty}^{\infty}\:|\:S(f)\:|^{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi f\tau}\mathrm{d}f\end{array}

$R(\tau)$ 和构成一对傅里叶变换。

功率信号 $s(t)$ 的自相关函数的定义为

R(\:\tau\:)\:=\:\lim_{T\to\infty}\:\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s(\:t\:)s(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

由定义式不难看出，当 $\tau=0$ 时，功率信号的自相关函数 $R(0)$ 等于信号的平均功率，即

R(0)\:=\:\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^{2}(\:t\:)\:\mathrm{d}t\:=\:P

R(\:\tau\:)\:=\:\frac{1}{T_{0}}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}s(\:t\:)s(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

P(f)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}R(\:\tau\:)\:\mathrm{e}^{-j2\pi f\tau}\:\mathrm{d}\tau

两个能量信号 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的互相关函数的定义为

R_{12}(\tau)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}s_{1}(\:t\:)s_{2}(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

R_{21}(\:\tau\:)\:=\:R_{12}(\:-\:\tau\:)

若令 $x=t+\tau$ ,得

\begin{aligned}R_{21}\left(\:\tau\:\right)&=\:\int_{-\infty}^{\infty}s_{2}\left(\:t\:\right)s_{1}\left(\:t\:+\:\tau\:\right)\mathrm{d}t\: =\:\int_{-\infty}^{\infty}s_{2}\left(\:x\:-\:\tau\:\right)s_{1}\left(\:x\:\right)\mathrm{d}x\\ &=\:\int_{-\infty}^{x}s_{1}\left(\:x\:\right)s_{2}\left[\:x\:+\:(\:-\:\tau\:)\:\right]\mathrm{d}x\: =\:R_{12}\left(\:-\:\tau\:\right)\end{aligned}

S_{12}\left(f\right)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}R_{12}\left(\:\tau\:\right)\mathrm{e}^{-j2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau

两个功率信号 $s_1(t)$ 和s_2(t)\ $s_2(t)$ 的互相关函数的定义为

R_{12}(\:\tau\:)\:=\:\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s_{1}(\:t\:)s_{2}(\:t\:+\:\tau\:)\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

同样，功率信号的互相关函数 $R_{12}(\tau)$ 也和时间 $t$ 无关，只和时间差 $\tau$ 有关，并且互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关。即

R_{21}\left(\tau\right)=R_{12}\left(\tau\right)

R_{12}(\tau)\:=\:\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s_{1}(\:t\:)s_{2}(\:t\:+\:\tau\:)\:\mathrm{d}t\quad-\:\infty\:<\:\tau\:<\:\infty

R_{12}\left(\tau\right)=\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}\left[\:C_{12}\:\right]\mathrm{e}^{i2\:\pi nf_{0}T}

式中 $:C_{12}=(C_{n})_{1}^{*}(C_{n})_{2}$ 称为信号的互功率谱

周期性功率信号的互功率谱 $C_{12}$ 是其互相关函数 $R_{12}(\tau)$ 的傅里叶级数的系数。若用傅里叶变换表示，上式可以改写为

R_{12}\left(\tau\right)\:=\:\sum_{n\:=\:-\infty}^{\infty}\:\int_{-\infty}^{\infty}C_{12}\left(f\right)\delta\left(f-nf_{0}\right)\mathrm{e}^{i2\pi nf_{0\tau}}\mathrm{d}f

式中： $\int_{-\infty}^{\infty}C_{12}(f)\delta(f-nf_{0})df=C_12=(C_{n}){1}^{*}(C{n})_{20}$