⚽1. 离散时间信号与系统

1.1 离散时间信号——序列

1.1.1 序列

离散时间信号是时间上不连续的序列，用$x(n)$来表示。$x(n)$可以看成对模拟信号$x_a(t)$的等间隔时间抽样，即

$$x(n)=x_a(t)\Big|_{t=nT}=x_a(nT)$$

序列的三种表示方法：

1. 函数表示法，例如$x(n)=a^nu(n)$

2. 数列表示法，例如$x(n)={...,-5,-3,\underline{-1},0,2,7,9}$，$n=0$时，$x(0)$的值要用下划线标注

3. 图形表示法，如图

   

1.1.2 序列的运算

3个基本运算单元：加法器、乘法器和延时单位。

序列的三类运算：

1. 对幅度进行运算

   1. 加法：$z(n)=x(n)+y(n)$
   2. 乘法：$w(n)=x(n)y(n)$，当$x(n)$或$y(n)$是常数$c$时，称为标度运算，即$w(n)=cx(n)$
   3. 累加：$y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)$
   4. 序列的绝对可和：$S=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid x(n)\mid$，当$S=B<\infty$时，称序列$x(n)$为绝对可和序列
   5. 序列的能量：$E[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^\infty\mid x(n)\mid^2$，若$E[x(n)]=A<\infty$，则称$x(n)$为能量信号有限信号，简称能量信号
   6. 序列的平均功率：$P[x(n)]=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}\mid x(n)\mid^2$，若极限存在，即$P[x(n)]=C<\infty$，则称$x(n)$为功率有限信号，简称功率信号，对于周期信号，只需取一个周期$N$的平均功率即可，即$P[x(n)]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\mid x(n)\mid^2$
2. 基于变量的运算

   1. 移位，序列$x(n)$的移位序列是$x(n-m)$，$m$为正数时，表示向右移位（延时），反之向左移位（超前）
   2. 翻褶，序列$x(n)$的翻褶序列为$x(-n)$，$x(n-m)$的翻褶序列为$x(-n-m)$
   3. 时间尺度变换

      1. 抽取（上抽样变换），为了减少抽样频率，$x_d(n)=x(Dn),D$为整数
      2. 插值（下抽样变换），为了增加抽样频率，例如插入零值，

         $$x_I^{'}(n)=\begin{cases}x(n/I) ,&n=mI ,I\text{ 为整数},m=0,\pm1,\pm2,...\\\\0 ,&\text{其他 }n\end{cases}$$
3. 既对幅度运算又对变量运算

   1. 差分运算

      1. 前向差分：$\Delta x(n)=x(n+1)-x(n)$
      2. 后向差分：$\nabla x(n)=x(n)-x(n-1)$

      其中：$\nabla x(n)=\Delta x(n-1)$
   2. 卷积和运算

      $$y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(n-m)h(m)$$
   3. 相关运算

      $$r_{xy}(m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)y(n-m)$$

1.1.3 序列的卷积和

$$y\left(n\right)=x\left(n\right)*h\left(n\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)h\left(n-m\right)$$

1. 卷积和的运算步骤：

   1. 翻褶：选哑变量为 $m$，作 $x(m),h(m)$,将 $h(m)$以 $m=0$ 的垂直轴为对称轴翻褶成$h\left(-m\right)$。
   2. 移位：将$h(-m)$移位$n$，得$h(n-m),n>0$ 时，右移$n$ 位$,n<0$ 时，左移$|n|$位。
   3. 相乘：将$h(n-m)$与$x(m)$在相同$m$ 处的对应值相乘。
   4. 相加：将以上所有$m$处的乘积值叠加，就得到这一个$n$值下的 $y(n)$值。依上法取 $n=\cdotp\cdotp\cdotp,-2,-1,0,1,2,\cdotp\cdotp\cdotp$各值，即可得到全部$y(n)$值。
2. 常用的卷积和求解方法：

   1. 图解加上卷积方法，一个结论：

      若$x(n)$在$N_3\leqslant n\leqslant N_4$范围有非零值，$h(n)$在$N_1\leqslant n\leqslant N_2$范围有非零值。 $y(n)=x(n)*h(n)$存在的范围为：$N_{1}+N_{3}\leqslant n\leqslant N_{2}+N_{4}$
   2. 列表方法，适用于两个有限长序列的卷积和

      已知：$x(n)={1,2,\underline{4},3}$，$h(n)={\underline{2},3,5}$，取 $y(n)=\sum_{m=0}^2h(m)x(n-m)$,则$m$应为$0\leqslant m\leqslant 2$，列表如下

      故$y(n)={2,7,\underline{19},28,29,15}$

      
   3. 对位相乘相加法：将序列排成两行，且将其各自$n$最大的序列值对其（即按右端对其），然后作乘法运算，但是不要进位，最后将同一列的乘积值相加即得到卷积和结果，如下图

      
3. 卷积和的序列长度：$x(n)$为$N$点长序列，$h(n)$为$M$点长序列，则$$y(n)=x(n)*h(n)$$为$L=N+M-1$点长列。

1.1.4 序列的相关性

1. 互相关函数序列

   1. 定义

      $$r_{xy}\left(m\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)y\left(n-m\right)$$

      互相关函数没有翻褶这一步骤

   2. 性质

      1. $r_{xy}(m)$与$r_{yx}(m)$互为偶对称关系，即$r_{xy}(m)=r_{yx}(-m)$
      2. $r_{xy(m)}$不是偶对称函数，即$r_{xy}(-m)\neq r_{xy}(m)$
      3. 当$x(n)$，$y(n)$是绝对可和信号时，则有$\lim_{m\to\infty}r_{xy}\left(m\right)=0$
   3. $r_{xy}$中$m$的有值范围

      设有限长序列$x(n),y(n)$有值的范围分别为

      $$x(n):N_{x1}\leqslant n\leqslant N_{x2} ; y(n):N_{y1}\leqslant n\leqslant N_{y2}$$

      则$r_{xy}(m)$的取值范围为

      $$-\left(N_{y2}-N_{x1}\right)\leqslant m\leqslant\left(N_{x2}-N_{y1}\right)$$

      • 若 $N_{y2}\leqslant N_{x1}$,则 $r_{xy}(m)$只在 $m\geqslant0$ 时有值。
      • 若 $N_{y1}\geqslant N_{x2}$,则 $r_xy(m)$只在 $m\leqslant0$ 时有值。
   4. 用卷积运算表示相关运算，即

      $$\begin{aligned} r_{xy}\left(m\right)& =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)y(n-m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)y(-(m-n)) \\ &=x(m)* y(-m) \end{aligned}$$
2. 自相关函数序列

   1. 定义

      $$r_{xx}\left(m\right)=\sum x\left(n\right)x\left(n-m\right)=x\left(m\right)*x\left(-m\right)$$
   2. 性质

      1. $r_{xx}(m)$是实偶序列，即$r_{xx}(m)=r_{xx}(-m)$
      2. $m=0$时自相关序列取最大值，即$r_{xx}(0)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2(n)>\mid r_{xx}(m)\mid$
      3. 当$x(n)$是绝对可和信号时，则有$\lim_{m\to\infty}r_{xx}\left(m\right)=0$
3. 对于功率信号，互相关函数及自相关函数定义为

   $$r_{xy}\left(m\right)=\lim_{M\to\infty}\frac1{2M+1}\sum_{n=-M}^Mx\left(n\right)y(n-m)\\r_{xx}\left(m\right)=\lim_{M\to\infty}\frac1{2M+1}\sum_{n=-M}^Mx\left(n\right)x\left(n-m\right)$$

   若为周期信号，可写成

   $$r_{xy}\left(m\right)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x\left(n\right)y(n-m)\\r_{xx}\left(m\right)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x\left(n\right)x\left(n-m\right)$$

1.1.5. 几种常用的典型序列

1. 单位抽样（单位冲激，单位脉冲）序列

   $$\delta(n) = \begin{cases}1 ,\quad n = 0\\\\0 ,\quad n \neq 0\end{cases}$$
2. 单位阶跃序列

   $$u(n)=\begin{cases}1,&n\geqslant0\\[2ex]0,&n<0\end{cases}$$
3. 矩形序列

   $$R_N(n)=\begin{cases}1,&0\leqslant n\leqslant N-1\\\\0,&\text{其他 }n\end{cases}$$
4. 实指数序列

   $$x(n)=a^nu(n),a\text{ 为实数}$$
5. 复指数序列

   $$x(n)=\mathrm{e}^{(\sigma+\mathrm{j}\omega_0)n}=\mathrm{e}^{\sigma n}\begin{bmatrix}\cos\omega_0n+\mathrm{j}\sin(\omega_0n)\end{bmatrix}$$

   当指数为纯虚数时，复指数序列为$x(n)=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0n}$
6. 正弦型序列

   $$x(n)=A\sin(\omega_0n+\varphi)$$

   其中 A 为幅度$,\omega_0$为数字频率$,\varphi$为起始相位

注意：

1. $\delta(n)$与$u(n)$的关系为

   $$\delta(n)=u(n)-u(n-1)\\ u(n)=\sum_{k=-\infty}^n\delta(k)=\begin{cases}1,&n\geqslant0\\\\0,&n<0\end{cases}$$
2. $\delta(n)$和$R_N(n)$的关系为

   $$R_N(n)=\sum_{m=0}^{N-1}\delta(n-m)=\delta(n)+\delta(n-1)+\cdots+\delta(n-N+$$
3. $u(n)$与$R_N(n)$的关系为

   $$R_N(n)=u(n)-u(n-N)$$
4. 因果序列$x(n)$与单位阶跃序列$u(n)$卷积，得到的是该因果序列的累加序列，即

   $$u(n)*x(n)=\sum_{m=0}^nx(m)u(n-m)=\sum_{m=0}^nx(m)$$
5. 对于$a^nu(n)$，$|a|<1$时序列收敛，$|a|>1$时序列发散
6. 对于$\mathrm{e}^{(\sigma+\mathrm{j}\omega_0)n}$，可以将它分解为实部序列与虚部序列或分解为模序列与相角序列

   $$x(n)=\mathrm{e}^{(\sigma+\mathrm{j}\omega_0)n}=\mathrm{e}^{\sigma n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0n}$$
7. 数字角频率$(\omega)$和模拟角频率$(\Omega)$之间的关系为

   $$\omega=\Omega T=\Omega/f_{s}=2\pi f/f_{s}\left(rad\right)$$

   其中$f_s=\frac{1}{T}$表示抽样频率，所以数字角频率事模拟角频率被抽样频率$f_s$归一化后的弧度，关系可用下表表示

   

1.1.6 序列的周期性

周期性序列：

$$x(n)=x(n+Nr),\quad r=0,\pm1,\pm2,\cdotp\cdotp\cdotp$$

1. 正弦型模拟信号$x_a( t) =Asin( \Omega _0t+ \varphi )$中，$\Omega_0$越大，则$x_a(t)$变化越快；但由于$x(n)=\sin(\omega_0n+\varphi)=\sin[(\omega_0+2\pi m)n+\varphi]$，当$\omega_0$变化时，$x(n)$是以 $2\pi$ 为周期的，并不是 $\omega_0$ 越大$，$x(n)$变化越快。
2. 正弦型模拟信号$x_a( t) =Asin( \Omega _0t+ \varphi )$一定是周期性信号，周期为$T_0=2\pi /\Omega_0$
3. 正弦序列$x(n)=A\sin(n\omega_0+\varphi)$成为周期性序列的条件：

   1. $2\pi/\omega$为整数时，周期为$2\pi/\omega$
   2. $2\pi/\omega$不是整数但是有理数时，周期将大于$2\pi/\omega$
   3. $2\pi/\omega$是无理数时，不存在周期
4. 如果正弦型序列时有一个连续正弦信号抽样得到的，抽样频率为$f_s$，抽样时间间隔为$T$，连续信号周期为$T$，则有

   $$\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{\Omega_0T}=\frac1{f_0T}=\frac{T_0}T=\frac{f_s}{f_0}$$

   抽样时间间隔$T$和连续时间信号周期$T_0$之间的关系如下

   1. 当 2$\pi/\omega_0$ 是整数时，例如 $2\pi/\omega_0=N$，则正弦序列的周期为 $N$，有

      $$T_0=NT\quad\text{或}\quad f_s=Nf_0$$

      即一个正弦信号周期($T_0$)中有$N$个抽样周期($T$)，或说抽样频率($f_s$)是正弦信号频率($f_0$)的整数(N)倍。
   2. 当$2\pi/\omega_0$是有理数时，即$2\pi/\omega_0=N/M$，其中，$N$、$M$是互为素数的正整数，则正弦序列的周期为 $N$，有

      $$MT_0=NT\quad\text{或}\quad Mf_s=Nf_0$$

      即$M$个正弦信号周期($T_0$)中应有 N 个抽样周期($T$)，或说$N$倍正弦信号频率($f_0$)应等于$M$倍抽样频率。

1.1.7 用单位抽样序列表示任意序列

1. $\delta(n)$的选择性

   $$x(m)\cdot \delta(n-m)=\begin{cases}x(n),&\text{当 }m=n\\\\0,&\text{其他 }m\end{cases}$$
2. 任意序列$x(n)$与单位抽样序列$\delta(n)$的卷积和等于该序列$x(n)$本身

   $$x(n)=\sum_{m=-\infty}^\infty x(m)\delta(n-m)=x(n)*\delta(n)$$
3. 任 意 序 列$x( n)$与单位抽样序列的移位序列 $\delta(n-n_0)$的卷积和就得到此序列作相同移位的序列$x(n-n_0)$

   $$x(n)*\delta(n-n_0)=\sum_{m=-\infty}^\infty x(m)\delta(n-n_0-m)=x(n-n_0)$$

1.2 线性移不变系统

一个离散时间系统是将输入序列按照所需要的目的变换成输出序列的一种运算，若以$T[\cdot]$表示这种运算，则有

$$y(n)=T[x(n)]$$

如图

下面讨论线性移不变系统

1.2.1 离散时间线性系统

1. 满足叠加原理

   $$a_1y_1(n)+a_2y_2(n)=a_1T[x_1(n)]+a_2T[x_2(n)]=T[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]$$
2. 证明一个系统是线性系统需对所有常系数（包括复数）以及所有输入（包括复数）满足叠加性（可加性和比例性）的两个条件。

3. 在线性系统中，在全部时间上，零输入一定产生零输出。

4. 增量线性系统（例如$y(n)=4x(n)+6$），任意两个输入的响应之差与两个输入之差呈线性关系

1.2.2 离散时间移不变系统

1. 若系统的输人输出关系不随时间而变化，则称它为移(时)不变系统，即若

   $$T[x(n)]=y(n)$$

   则

   $$T[x(n-n_0)]=y(n-n_0)$$
2. 移不变系统的输出序列随输入序列的移位而作相同的移位，且保持输出序列的形状是不变的

3. 若系统有一个移变增益，例如$y(n)=nx(n)$，则一定是移变系统
4. 若一个系统在时间轴上有压缩或扩展，例如$y(n)=x(Mn)$，则一定是移变系统
5. 线性和移不变是系统的两个独立特性

1.2.3 离散时间线性移不变系统（LSI系统）

1. 单位冲激响应

   单位抽样响应(也称单位冲激响应或单位脉冲响应)是指输入为单位抽样序列$\delta(n)$时，LSI 系统的输出序列(或称输出响应)，一般用$h(n)$表示，即

   $$h(n)=T[\delta(n)]$$
2. LSI系统输出序列与输入序列在时域中的关系——卷积和关系

   $$y\left(n\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)h\left(n-m\right)=x\left(n\right)*h\left(n\right)$$

   即LSI系统的输出序列是输入序列与系统单位抽样响应的卷积和。

3. LSI系统卷积和运算的性质

   1. 交换律

      $$x(n)* h(n)=\sum_{m=-\infty}^\infty x(m)h(n-m)=\sum_{m=-\infty}^\infty x(n-m)h(m)=h(n)* x(n)$$

      
   2. 结合律

      $$\begin{aligned}x(n)*h_{1}(n)*h_{2}(n)&=\begin{bmatrix}x(n)*h_1(n)\end{bmatrix}*h_2(n)=x(n)*\begin{bmatrix}h_1(n)*h_2(n)\end{bmatrix}\\&\xrightarrow{\text{交换律}}\begin{bmatrix}x(n)*h_2(n)\end{bmatrix}*h_1(n)\end{aligned}$$

      
   3. 分配律

      $$x(n)*\begin{bmatrix}h_1(n)+h_2(n)\end{bmatrix}=x(n)*h_1(n)+x(n)*h_2(n)$$

      

1.2.4 因果系统

因果系统是指系统的输出不发生在输入之前的系统，即

$$y(n_0)\text{ 只取决于 }x(n)\mid_{n\leqslant n_0}$$

• 对于因果系统，$n<n_0$的输入相同则$n<n_0$的输出也相同
• 考察系统因果性时，只看输入$x(n)$和输出$y(n)$的关系，而不讨论其他以$n$为变量函数的影响，例

  $$\begin{aligned}&y(n)=(n+2)x(n)\text{ 是因果系统}\\&y(n)=x(n)\sin(n+4)\text{也是因果系统}\end{aligned}$$
• LSI系统是因果系统的充要条件是单位冲激响应$h(n)$是因果序列，即

  $$h(n)=0,n<0$$

1.2.5 稳定系统

若系统满足稳定输入产生稳定输出，就是因果系统，即

$$\begin{aligned} &若\mid x(n)\mid\leqslant M<\infty\\ &则\mid{y}(n)\mid\leqslant P<\infty\end{aligned}$$

LSI系统是稳定系统的充要条件是单位抽样响应绝对可和，即

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid h\left(n\right)\mid=P<\infty$$

1.3 常系数线性差分方程

离散时间系统的输入和输出关系可用常系数线性差分方程表示，即

$$\sum_{k=0}^Na_ky\left(n-k\right)=\sum_{m=0}^Mb_mx\left(n-m\right)$$

求解线性常系数差分方程的三种方法：

1. 经典解法

2. 迭代法

3. 卷积和计算法

常系数差分方程表示的系统，只有当边界条件是使系统松弛的，则该系统是线性，移不变系统，所谓松弛状态是指

$$x\left(n\right)|_{n<n_{0}}=0$$

则边界条件必须满足：

$$y\left(n\right)|_{n<n_{0}}=0$$

1.4 连续时间信号的采样

1.4.1 模拟信号的连续采样

1. 理想抽样信号

   设 $x_u(t)$为模拟信号，$\hat{x}_a(t)$为理想抽样信号，则有

   $$\hat{x}_a(t)=x_a(t)\cdot p(t)=x_a(t)\cdot\delta_T(t)$$

   其中，抽样信号 $p(t)$就是周期性的单位冲激信号

   $$\delta_T(t)=\sum_{m=-\infty}^\infty\delta(t-mT)$$

   因而有

   $$\begin{aligned}\hat{x}_{a}(t)&=x_a(t)\sum_{m=-\infty}^\infty\delta(t-mT)=\sum_{m=-\infty}^\infty x_a(t)\delta(t-mT)\\&=\sum_{m=-\infty}^\infty x_a(mT)\delta(t-mT)\end{aligned}$$

   $T$为采样周期，$f_s=1/T$为抽样频率，$\Omega_s=2\pi f_s=2\pi/T$是抽样角频率
2. 理想抽样信号的频谱

   $$\hat{X}_a\left(\mathrm{j}\Omega\right)=\frac1T\sum_{k=-\infty}^\infty X_a\left[\operatorname{j}\left(\Omega-k\frac{2\pi}T\right)\right]$$

   理想抽样信号的频谱$\hat{X} _a(j\Omega)$是被抽样的模拟信号的频谱 $X_a(j\Omega)$的周期延拓，在角频率$\Omega$轴上其延拓周期为

   $$\Omega_s=\frac{2\pi}{T}=2\pi f_s$$

   即频率轴$f$上以抽样频率$f_s$为周期而周期延拓。

1.4.2 时域采用定理

如果模拟信号是带限信号(频带有限信号)，信号的最高频率分量为 $f_h$，设抽样频率为 $f_s$，由于抽样后信号的频谱等于模拟信号频谱按抽样频率 $f_s$作周期延拓，只有当

$$f_h<\frac{f_s}2$$

时，周期延拓的频谱分量才不会产生交叠，称抽样频率之半($f_s/2$)为折叠频率。即

$$\frac{f_s}2=\frac1{2T}\quad\text{或}\quad\frac{\Omega_s}2=\frac\pi T$$

奈奎斯特抽样定理：若 $x_a(t)$是频带宽度有限的信号(称带限信号)，要想抽样后的信号能够不失真地还原出原信号，则必须抽样频率$f_s$大于信号最高频率分量$f_h$ 的两倍，即

$$f_{s}>2f_{h}$$

数字频率$\omega$是模拟角频率对抽样频率$f_s$的归一化频率，因而抽样频率$f_s$对于的数字频率为

$$\omega_{s}=\Omega_{s}T=2\pi f_{s}/f_{s}=2\pi$$

因此数字域的抽样频率$\omega_s$等于$2\pi$，也就是延拓周期等于$2\pi$，折叠频率$f_s/2$所对应的数字域频率为

$$\frac{\omega_s}{2}=\pi$$

按照采样定理，信号数字域最高频率$\omega_h$应小于$\pi$。

1.4.3 模拟信号的实际采样

在实际中，抽样脉冲串不是冲激函数串$\delta_T(t)$，而是一点宽度$\tau$的矩形周期脉冲串，这时奈奎斯特抽样定理仍然有效

1.4.4 带通信号的抽样

带通信号的频谱存在某一频段范围，而不是零频范围，如图

其最高频率为$f_h$，带宽为$\Delta f_o$，算术中心频率为$f_a=f_h-\frac{\Delta f_o}{2}$，一般来说$f_a\gg\Delta f_o$，即通带中心频率远大于通带带宽。

当$f_h=r\Delta f_o$，即带通信号的最高频率是其通带宽度的整数倍时，则选抽样频率$f_s$为

$$f_s=2\Delta f_o$$

即所取抽样频率为带通信号通带宽度的两倍，其抽样后的频谱是带通信号频谱以此$f_s$的整数倍而周期延拓后的频谱，如图

图中 $r=5$,显然没有频谱混叠现象。

当 $f_h=r^{\prime}\Delta f_o$，$r^{\prime}\neq$整数。这是最一般的情况，即带通信号最高频率不等于其带宽的整数倍时，这时，可保持$f_h$不变，将通带下端延伸到使其带宽为$\Delta f_o^{\prime}$，使得满足

$$f_h= r\Delta f_0^{\prime },r= \lfloor r^{\prime }\rfloor( \lfloor \:\rfloor表示取整数部分)$$

此时有 $\Delta f_o^{\prime}>\Delta f_o$，这时选抽样频率为

$$f_s=2\Delta f'_o=2f_h/\lfloor r'\rfloor=2f_h/\lfloor f_h/\Delta f_o\rfloor$$

后面的情况同上述分析。

带通信号抽样频率$f_s$的取值范围为（其中$\Delta f_o$为带宽）

$$2\Delta f_{o}\leqslant f_{s}<4\Delta f_{o}$$

$f_{s}$的下限是$\frac {f_h}{\Delta f_o}=$整数时的情况，而其上限则对应于$\frac {f_h}{\Delta f_o}\neq$整数，且是最不利的情况。由于上面讨论的带通信号的抽样频率$f_s$不满足$f_s>2f_h$的要求，因而可称其为亚奈奎斯特抽样频率。

1.4.5 连续时间信号 $x_a(t)$、理想抽样信号$\hat{x}_a(t)$以及抽样序列 $x(n)$

$\hat{x}_a(t)$在工程应用中无法实现，故工程中采样抽样序列$x(n)$。

1. $\hat{x}_a(t)$和 $x(n)$的本质差别：$\hat{x}_a(t)$本质上是连续时间信号，是在 $t=nT$ 时的冲激串， 在$t\neq nT$ 时$,\hat{x}_a(t)=0$，其每个冲激的幅度都是无穷大，存在时间(宽度)为无穷小，$\hat{x}_a(t)$的大小是以冲激的积分面积表示的；抽样序列 $x(n)$则是整数变量 $n$ 的函数，这里时间已归一化，$x(n)$本身已没有抽样率的信息，当 $n=$整数时，$x(n)=x_a(nT)$，即抽样点上抽样序列的幅值是确定数值，在 $n\neq$整数时，$x(n)$无定义，不是零值。
2. 连续时间信号 $x_a(t)$、理想抽样信号$\hat{x}_a(t)$以及抽样序列 $x(n)$三者的关系

   $$x\left(n\right)=x_{a}\left(t\right)\Big|_{t=nT}=x_{a}\left(nT\right),-\infty<n<\infty$$

1.4.6 时域信号的插值重构

如果满足奈奎斯特抽样定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率，则抽样后不会产生频谱混叠，可以由信号的抽样值经插值而重构原信号$x_a(t)$。当$|\Omega|<\Omega_s/2$时，只存在$k=0$一项，即有

$$\hat{X}_a(\text{j}\Omega)=\frac1TX_a(\text{j}\Omega),\quad\mid\Omega\mid<\frac{\Omega_s}2$$

将$\hat{X}_a(j\Omega)$送人作为重构用的理想低通滤波器 $H(j\Omega)$

$$H(\text{j}\Omega)=\begin{cases}T,&\mid\Omega\mid<\frac{\Omega_s}2\\\\0,&\mid\Omega\mid\geqslant\frac{\Omega_s}2\end{cases}$$

就可以得到原信号频谱，即

$$Y_a(j\Omega)=\hat{X}_a(j\Omega)H(j\Omega)=X_a(j\Omega)$$

所以输出端即为原模拟信号。

信号重构的抽样内插公式：

$$y_{a}\left(t\right)=\sum_{m=-\infty}x_{a}\left(mT\right)\frac{\sin\left[\pi\left(t-mT\right)/T\right]}{\pi\left(t-mT\right)/T}$$

$x_o(mT)$经此公式而得到连续信号$x_a(t)$，而$\sin[\pi(t-mT)/T]/[\pi(t-mT)/T]$称为内插函数，如图

在抽样点$mT$上，函数值为 1,在其余抽样点上，函数值为零，不影响其他抽样点。也就是说，$x_a(t)$ 等于各$x_{a}(mT)$乘以对应的内插函数的总和。在每一个抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各抽样点上信号值不变，而抽样点之间的信号则由各加权抽样函数波形的延伸叠加而成，如图

因而内插函数 $h(t)$的作用是在各抽样点之间起连续插值的作用。

1.4.7 正弦信号的抽样

正弦型信号 $x_a(t)=A\sin(\Omega_ot+\varphi)=A\sin(2\pi f_at+\varphi)$的频谱在 $f=f_o$处为$\delta$函数，一般来说，正弦信号的抽样频率必须满足$f_s>2f_o.$ 因为若取 $f_s=2f_o$，则有以下几种情况发生：

1. 当$\varphi=0$时，一个周期抽取的两个点为$x(0)=x(1)=0$，相当于$x_{\alpha}(0)$和$x_{\alpha}(\pi)$ 两个点，故不包含原信号的任何信息。
2. 当$\varphi=\frac\pi2$时，则有$x(0)=A,x(1)=-A$，此时从$x(n)$可以恢复$x_a(t)$。
3. 当$\varphi$为已知，且 $0<\varphi<\frac\pi2$时，恢复的不是原信号，但经过变换后，可得到原信号。
4. 当$\varphi$为未知数时，抽样后不能恢复出原信号$x_a(t)$。所以，至少要取 $f_s>2f_o$,避免产生不确定性。

处理周期性正弦序列时，应该注意：

1. 对抽样后的离散周期性的正弦序列作截断时，其截断长度必须为序列周期的整数倍，才不会产生频域的泄露。

2. 离散正弦序列不宜补零后作频谱分析，否则会产生频域泄露。

3. 考虑到作$DFT$时，当要求数据个数为$N=2^P$时，正弦信号一个周期中最好抽取4个点。

满足$|\omega_{2}-\omega_{1}|=2\pi k$，$k$为整数，的两个正弦序列是相同的，有以下两个结论：

1. 两个不同频率的模拟正弦型信号，如果用同一抽样频率$f_s$对其抽样，得到的序列可能是相同的序列，我们没法从序列中区分出它们分别来源于哪一个模拟正弦型信号。
2. 同一个模拟正弦型信号，如果用两个不同的抽样频率抽样后，所得到的序列仍可能是相同的，我们没法确定其原抽样频率。